Vektorräume über Q und R < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Fr 18.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
Ich grübele seit ein paar Stunden über der folgenden Aufgabe und bin mir unsicher, ob meine Lösungsidee korrekt ist und vorallem wie ich es mathematisch korrekt aufschreibe:
Es sei [mm] V=V_R [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] V ist dann auch ein Vektorraum über dem Körper [mm] \IQ \subset \IR, [/mm] den wir [mm] V_Q [/mm] nennen.
Beweisen oder widerlegen sie folgende Aussagen:
1. Sind [mm] v_1,...,v_n [/mm] linear unabhängig bezgl. [mm] V_R, [/mm] dann sind [mm] v_1,...,v_n [/mm] auch unabhängig bezgl. [mm] V_Q
[/mm]
2. Sind [mm] v_1,...,v_n [/mm] linear unabhängig bezgl. [mm] V_Q, [/mm] dann sind [mm] v_1,...,v_n [/mm] auch unabhängig bezgl. [mm] V_R
[/mm]
3. Bilden die Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] ein Erzeugendensystem für [mm] V_R. [/mm] dann erzeugen die Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] auch [mm] V_Q
[/mm]
Meine Gedanken waren nun:
1. ist falsch. [mm] \IR [/mm] ist eine Obermenge von [mm] \IQ, [/mm] es gibt die Differenzmenge der irrationalen Zahlen. Wenn diese für die lineare Unabhängigkeit "gebraucht werden", funktioniert das nicht in [mm] \IQ
[/mm]
2. ist korrekt, weil alle Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] auch in [mm] \IR [/mm] sind.
3. ein Erzeugendensystem von V stellt eine Menge von Vektoren da, die mit Hilfe von Linearkombination V bilden.
Hier nehme ich an, dass die Behauptung falsch ist, aus den selben Gründen wie 1.
Sorry jedenfalls für meine unmathematische Ausdrucksweise.
Ist das so richtig?
Und falls ja: wie kann ich das wirklich beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Fr 18.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. ist falsch. [mm]\IR[/mm] ist eine Obermenge von [mm]\IQ,[/mm] es gibt die
> Differenzmenge der irrationalen Zahlen. Wenn diese für die
> lineare Unabhängigkeit "gebraucht werden", funktioniert das
> nicht in [mm]\IQ[/mm]
Häh? Wieso werden die gebraucht? Lineare Unabhängeigekit braucht die doch nicht - du hast sogar für feste Elemente weniger Linearkeombinationen.
> 2. ist korrekt, weil alle Zahlen aus [mm]\IQ[/mm] auch in [mm]\IR[/mm]
> sind.
Wieso sollte das denn 2. begründen? Mit den irrationalen Zahlen kannst du doch mehr Linearkombinationen bilden - und aus diesen neuen könnte dann doch eine Null sein?!?
> 3. ein Erzeugendensystem von V stellt eine Menge von
> Vektoren da, die mit Hilfe von Linearkombination V bilden.
> Hier nehme ich an, dass die Behauptung falsch ist, aus den
> selben Gründen wie 1.
Das ist schon eher korrekt - aber man kann ja einfach mal ein Gegenbeispiel finden ... [m]\IR^1[/m] bietet sich für sowas immer an.
SEcki
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