Vektorräume (einfache Frage) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mo 21.02.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Sorry wegen der simplen Frage. Hab damit echt Probleme könnte sein weil wir Mengenlehre nie direkt angesprochen haben. Hätte gern einfach nur erstmal einen Hinweis (mir ist klar entweder beidseitige Inklusion oder Gleichheit direkt zeigen/widerlegen)
Beweise oder widerlege : Für alle Vektorräume V und beliebige Unterräume A,B,C von V gilt
A [mm] \cap [/mm] (B+C)= (A [mm] \cap [/mm] B) + (A [mm] \cap [/mm] C)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 21.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
betrachte mal $V = [mm] \mathbb{R}^2$ [/mm] und die unterraüme [m] A = \left\{ t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) : t \in \mathbb{R} \right\} [/m], [m] B = \left\{ t \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) : t \in \mathbb{R} \right\}[/m], [m] C = \left\{ t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) : t \in \mathbb{R} \right\} [/m] und berechne beide seiten der gleichung. kommt dabei das selbe herraus?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 22.02.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Erstmal danke für die schnelle Antwort. Das Gegenbeispiel ist klar rechts liegt nur [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und auf der linken Seite der komplette
Teilraum A . Wie hast du erkannt dass es sich hier um eine falsche Aussage handelt? Durch Übung? Wenn ja hast du eine Ahnung wo ich mehr Aufgaben dieses Typen finden kann? Mir geht es um den Ansatz so dass ich das nächste mal meinen Weg selber zu dem Gegenbeispiel finde (oder zum Beweis). Schonmal im Voraus Danke!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:00 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Pollux |
A [mm] \cap [/mm] (B+C)= (A [mm] \cap [/mm] B) + (A [mm] \cap [/mm] C)
Ein Element x aus V der linken Seite ist in A und in (B+C) enthalten.
Also ist es derart, dass gilt x = b + c mit b aus B und c aus C.
Da x aber auch in A enthalten ist, ist x derart, dass gilt:
x = b* + c* mit b* aus B [mm] \cap [/mm] A und c* aus A [mm] \cap [/mm] C.
Also ist x Element der rechten Seite
Ein Element x der rechten seite ist immer in A enthalten, also ist es auch element der linken seite!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 21.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> A [mm]\cap[/mm] (B+C)= (A [mm]\cap[/mm] B) + (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> Ein Element x aus V der linken Seite ist in A und in (B+C)
> enthalten.
> Also ist es derart, dass gilt x = b + c mit b aus B und c
> aus C.
> Da x aber auch in A enthalten ist, ist x derart, dass
> gilt:
> x = b* + c* mit b* aus B [mm]\cap[/mm] A und c* aus A [mm]\cap[/mm] C.
> Also ist x Element der rechten Seite
ich befürchte, dass es eine solche darstellung i.a. nicht gibt, siehe mein beispiel in obiger antwort ($B + C$ ist i.a. nämlich größer als $B [mm] \cup [/mm] C$!).
grüße
andreas
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