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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Also ich würd euch gerne bitten, hier mal Korrektur zu lesen:
Übe nämlich "fleißig" und hab mir paar Übungsaufgaben aus dem Netz besorgt und gerechnet:
1)
X ist ein Vektorraum der Dimension n, U,V sind Untervektorräume von X. [mm] U_{0} [/mm] ist folgendermaßen definiert:
[mm] U_{0}:=\{ \delta \in X^{\*} | \delta(u)= \vec{0} \forall u \in U\}
[/mm]
Natürlich ist das ein Untervektorraum, aber und da hab ich eigentlich das größte Problem: *schäm*
Muss ich dafür zeigen: [mm] \alpha, \beta \in X^{\*} \alpha(v)+\beta(v)=0+0=0 \in V_{0} [/mm]
oder v,w [mm] \in [/mm] V [mm] \delta(v)+\delta(w)=0+0=0 \in V_{0}
[/mm]
z.z.
i) [mm] dim(U_{0})=dim(W)=dim(U)
[/mm]
ii) [mm] (U+V)_{0}=U_{0} \cap V_{0}
[/mm]
zu i)
Sei [mm] x_{1},...,x_{r} [/mm] eine Basis von U.
U ist Untervektorraum von X, daher kann diese Basis zu einer Basis von X ergänzt werden: [mm] x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{n}
[/mm]
Die zu X zugehörige Dualbasis ist X*: [mm] a^{\*}_{1},...,a_{r}^{\*},a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*}
[/mm]
Ich möchte nun zeigen, dass [mm] a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*} [/mm] eine Basis von [mm] U_{0} [/mm] ist, weil daraus folgen würde:
[mm] dim(U_{0})=n-r=dim(X)-dim(U)
[/mm]
linear unabh. sind die Vektoren [mm] a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*} [/mm] auf jeden Fall, da sie aus einer Basis stammen, bleibt das Erzeugendensystem zu zeigen:
Zu beweisen ist also:
[mm] U_{0}=span(a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*})
[/mm]
Hinrichtung:
[mm] span(a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*}) \subset span(a_{1}^{\*},...,a_{r}^{\*},a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*})
[/mm]
=> [mm] span(a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*}) \subset \in X^{\*}
[/mm]
Es gilt also [mm] a_{j}^{\*}(u_{i})=0, [/mm] womit die Bedingung für [mm] U_{0} [/mm] erfüllt ist.
Rückrichtung:
Sei nun [mm] \delta \in U_{0} [/mm] und
[mm] \delta=\alpha_{1}a_{1}^{\*}+...+\alpha_{r}a_{r}^{\*}+\alpha_{r+1}a_{r+1}^{\*}+...+\alpha_{n}a_{n}^{\*}
[/mm]
=> [mm] \delta(u_{i})=\alpha_{1}a_{1}^{\*}(u_{1})+...+\alpha_{r}a_{r}^{\*}(u_{r})+\alpha_{r+1}a_{r+1}^{\*}(u_{r+1})+...+\alpha_{n}a_{n}^{\*}(u_{n})=0
[/mm]
Da [mm] a_{1}^{\*}, [/mm] ...., [mm] a_{n}^{\*}, [/mm] lin. unabh. , daher muss [mm] \alpha_{i}=0 [/mm] sein.
Bis hierhin o.k, ich weiß nur nicht genau, ob ich die Rückrichtung nun komplett gezeigt habe oder ob was fehlt. Warum bedeutet wenn [mm] \alpha_{i}=0 [/mm] sein muss, dass [mm] U_{0} \subset span(a_{r+1}^{\*},...,a_{n}^{\*}) [/mm]
zu ii)
Kann ich hier Linearität von [mm] \delta [/mm] benutzen ?
Es gilt ja für den Dualraum [mm] X^{\*}=L(X,IK)
[/mm]
[mm] \delta \in X^{\*} [/mm] (laut Vorrausetzung) => [mm] \delta \in [/mm] L(X,IK)
Also eine Lineare Abbildung.
[mm] \delta(u+v)= \delta(u)+\delta(v) [/mm] oder ?
Wem dem so ist, ist die ii) kein Problem 
2)
Die Eindeutigkeit der direkten Summe bei mehreren Untervektorräumen [mm] W_{i}'s:
[/mm]
z.z ist, dass die Darstellung eines Elements [mm] w=W_{1} \oplus W_{2}\oplus....\oplus W_{n} [/mm] eindeutig ist.
Sei [mm] w=w_{1}+w_{2}+...+w_{n}
[/mm]
und [mm] w=w_{1}^{'}+w_{2}^{'}+...+w_{n}^{'} [/mm] eine weitere solche Darstellung:
[mm] w=w_{1}+w_{2}+...+w_{n}=w_{1}^{'}+w_{2}^{'}+...+w_{n}^{'}
[/mm]
[mm] <=>\underbrace{w_{1}-w_{1}^{'}}_{\in W_{1}}+\underbrace{w_{2}-w_{2}^{'}}_{\in W_{2}}+...+\underbrace{w_{n-1}-w_{n-1}^{'}}_{\in W_{n-1}}=\underbrace{w_{n}^{'}-w_{n}}_{\in W_{n}}
[/mm]
=> w [mm] \in W_{1}+W_{2}+...+W_{n-1} \wedge \in W_{n}
[/mm]
=> w [mm] \in W_{n} \cap (W_{1}+W_{2}+...+W_{n-1}) [/mm] (auch im Schnitt)
Über die Definition der direkten Summe gilt:
[mm] W_{i} \cap W_{i}^{~}=\{ \vec{0}\} [/mm] mit [mm] W_{i}^{~}= \summe_{j=1,i \not=j}^{n}W_{j}
[/mm]
=> w=vec{0}
=> [mm] 0=w_{1}+w_{2}+...+w_{n}=w_{1}^{'}+w_{2}^{'}+...+w_{n}^{'}
[/mm]
Daraus folgt nun [mm] w_{i}=w_{i}^{'} [/mm] und damit ist w eindeutig.
Danke für's zuhören, drüber schauen und verbessern schon mal im Vorraus !
Faenôl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 09.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Die Lösung scheint richtig zu sein oder es hat keiner Zeit ! *g*
Aber zu den UVR's würd ich schon noch gern eine Antwort haben:
> X ist ein Vektorraum der Dimension n, U,V sind
> Untervektorräume von X. [mm]U_{0}[/mm] ist folgendermaßen
> definiert:
>
> [mm]U_{0}:=\{ \delta \in X^{\*} | \delta(u)= \vec{0} \forall u \in U\}
[/mm]
>
>
> Natürlich ist das ein Untervektorraum, aber und da hab ich
> eigentlich das größte Problem: *schäm*
> Muss ich dafür zeigen:
1. [mm]\alpha, \beta \in X^{\*} \alpha(u)+\beta(u)=0+0=0 \in U_{0}[/mm]
>
> oder
2. v,w [mm]\in[/mm] U [mm]\delta(v)+\delta(w)=0+0=0 \in U_{0}[/mm]
Bei diesen Sachen, hab ich immer Probleme.
Was muss ich nehmen 1 oder 2 ?
thanx
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
ich muss gleich sagen, dass Dualräume nicht mein Lieblingsthema waren und dies auch schon etwas zurück liegt, deshalb bitte folgendes mit Vorsicht genießen !!
Also: $ [mm] U_{0} [/mm] $ ist der Raum von Abbildungen, die auf U als Nullabbildung wirken, richtig? (in der Definition nicht den Nullvektor, sondern nur die Null aus K)
wenn ich mich recht erinnere sind die Elemente des Dualraumes als Zeilenvektoren schreibbar, so dass $ [mm] \delta(u)= (\delta_{1} ,...,\delta_{n} )*\vektor{u_{1} \\ ...\\u_{n}} [/mm] $
dementsprechend wäre eine Addition im Dualraum nur eine komponenten Weise Addition in den Zeilenvektoren.
so, jetzt wähle man eine Basis von U und ergänze diese zu einer Basis von X, dann muss man einfach nur (für additive Abgeschlossenheit) zeigen , dass :
$ [mm] (\delta [/mm] + [mm] \beta [/mm] )(u)=0 [mm] \quad\forall u\in [/mm] U $
wobei man davon ausgehen kann, dass die ersten paar (=dimU)Komponenten von Delta und Beta gleich Null sind.
aber wie gesagt : weiß nicht, ob ich das alles noch richtig n Erinnerung habe - lieber nochmal mit den Definitionen vergleichen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 09.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Erstmal Danke daMenge !
Aber so ganz genau hab ich net verstanden, wodrauf du dich beziehst (außer auf Dualräume).
Das man den Dualraum so schreiben kann, wußte ich net, aber es kommt mir irgendwie doch bekannt vor, daher sagen wir, dass es stimmt ! *g*
Du hast ja angedeutet, dass man [mm] (\alpha+\delta)(u)=0 [/mm] zeigen müßte.
Das bezieht sich jetzt auf die Untervektorraum-Bedingung 2 (Abgeschlossen der Additivität) ?
[mm] (\alpha+\delta)(u)=(\alpha_{1}+\delta_{1},....,\alpha_{n}+\delta_{n})* \vektor{u_{1} \\... \\ u_{n}}
[/mm]
= [mm] (\alpha_{1}+......+\alpha_{n})*\vektor{u_{1} \\... \\ u_{n}}+(\delta_{1},....,+\delta_{n})*\vektor{u_{1} \\... \\ u_{n}}
[/mm]
=0+0=0 [mm] \in U_{0}
[/mm]
hmm, wo man wieder Linearität in der Additivät hätte...
Das unterstützt ja meine These, dass [mm] \delta(u) [/mm] wirlklich linear ist (siehe erstes Posting)
Meinst du das ? Oder wodrauf beziehst du dich ? 
Ich mag auch keine Dualräume.......
Danke !
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi, ähm gleich mal eine Verbesserung wegen der Basisergänzung von U:
$ [mm] (\alpha+\delta)(u)=(\alpha_{1}+\delta_{1},....,\alpha_{n}+\delta_{n},...,\alpha_{r}+\delta_{r})\cdot{} \vektor{u_{1} \\... \\ u_{n}\\0\\...\\0} [/mm] $
Das wäre die richtige Darstellung bzgl. der Basis, die ich vorgeschlagen hatte - ich hatte oben den Fehler auch schon gemacht - sorry !
(das heißt die restlichen r Komponenten sind frei wählbar und simpel mit einer Basis darstellbar)
Aber im Grunde meinte ich es so, wie du es aufgefast hast.
Wenn die Addition und die Anschauung als Zeilenvektor wirklich so stimmt, folgt die Linearität leicht. Jedoch weiß ich nicht mehr 100% ob dies stimmt.
wesentlich mehr kann ich dir dazu wirklich nicht sagen...
(muss jetzt auch weg)
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
zu den Dualräumen kann ich wie bereits erwähnt nicht viel sagen, das was du geschrieben hast, sieht für mich gut aus - vielleicht ein bisschen umständlich, aber naja.
zu 2) wenn du n UVRs hast, kannst du doch induktiv eine Basis von ganz V ergänzen über die einzelnen UVR-Basen - und dass eine Basisdarstellung eindeutig ist, ist simpel
(angenommen dem wäre nicht so, dann hättest du sofort ein nicht-triviale Darstellung der 0 => linear abhängig)
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