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Vektorräume: Beweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Do 15.10.2009
Autor: BBBold

Aufgabe
Welche der folgenden Mengen V sind Vektorräume? Welche
nicht? Beweisen Sie ihre Behauptung!

(1) Sei A eine m×n Matrix mit Einträgen in K (K ist ein Körper). Wir definieren V durch
V := [mm] \{X \in n x m Matrizen | AX = 0 \}, [/mm]

mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation für m × n Matrizen und K.

(2) Seien V := [mm] \IR [/mm] und K := [mm] \IR, [/mm] mit der üblichen skalaren Multiplikation und der Addition
von Vektoren definiert durch
a + b = [a + b].
Hier ist [ x ] die großte ganze Zahl n [mm] \in [/mm] Z mit n [mm] \le [/mm] x.

(3) Sei V := [mm] \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IQ^{3} | x_{3} = x_{1} + 3x_{2}\}, [/mm] K = [mm] \IQ, [/mm] mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation.

(4) Seien K := R, V := R mit der üblichen skalaren Multiplikation und mit der Addition von Vektoren definiert durch
a + b := ab.

Hier ist ab die übliche Multiplikation in [mm] \IR. [/mm]

Hallo,

ich versuche grade mein LA-Übungsblatt zu bearbeiten. Ich habe Schwierigkeiten dabei, bei (1) herauszufinden, mit welchen Variablen ich die Vektorraumaxiome durchgehen soll.

Wäre das im ersten Fall beispielsweise sowas:

Kommutativität bzgl Addition:
m + n = n + m
Assoziativität bzgl Addition:
m+(n+o) = (m+n)+o?

Mir fehlt ein richtiger Ansatz.

Vielen Dank für hilfreiche Beiträge im Voraus.

LG, Güzel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Do 15.10.2009
Autor: fred97


> Welche der folgenden Mengen V sind Vektorräume? Welche
>  nicht? Beweisen Sie ihre Behauptung!
>  
> (1) Sei A eine m×n Matrix mit Einträgen in K (K ist ein
> Körper). Wir definieren V durch
>  V := [mm]\{X \in n x m Matrizen | AX = 0 \},[/mm]
>  
> mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation für
> m × n Matrizen und K.
>  
> (2) Seien V := [mm]\IR[/mm] und K := [mm]\IR,[/mm] mit der üblichen skalaren
> Multiplikation und der Addition
>  von Vektoren definiert durch
>  a + b = [a + b].
>  Hier ist [ x ] die großte ganze Zahl n [mm]\in[/mm] Z mit n [mm]\le[/mm]
> x.
>  
> (3) Sei V := [mm]\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \IQ^{3} | x_{3} = x_{1} + 3x_{2}\},[/mm]
> K = [mm]\IQ,[/mm] mit der üblichen Addition und skalaren
> Multiplikation.
>  
> (4) Seien K := R, V := R mit der üblichen skalaren
> Multiplikation und mit der Addition von Vektoren definiert
> durch
>  a + b := ab.
>  
> Hier ist ab die übliche Multiplikation in [mm]\IR.[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich versuche grade mein LA-Übungsblatt zu bearbeiten. Ich
> habe Schwierigkeiten dabei, bei (1) herauszufinden, mit
> welchen Variablen ich die Vektorraumaxiome durchgehen soll.
>
> Wäre das im ersten Fall beispielsweise sowas:
>  
> Kommutativität bzgl Addition:
> m + n = n + m


Bei  1) brauchst Du das nicht nachweisen , denn V besteht aus nxm - Matrizen und bei solchen Matrizen ist die Addition kommutativ



>  Assoziativität bzgl Addition:
>  m+(n+o) = (m+n)+o?

Wie oben.



>  
> Mir fehlt ein richtiger Ansatz.

V ist doch eine Teilmenge des Vektorraumes M aller nxm - Matrizen.

Dann: V ist ein Vektorraum [mm] \gdw [/mm] V ist ein Untervektorraum von M.


Prüfe also folgendes nach:

1. Ist die Nullmatrix in V ?

2. Sind [mm] X_1 [/mm] , [mm] X_2 \in [/mm] V und sind s, t [mm] \in [/mm] K , ist dann [mm] sX_1+tX_2 \in [/mm] V ?

FRED

>  
> Vielen Dank für hilfreiche Beiträge im Voraus.
>  
> LG, Güzel
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Do 15.10.2009
Autor: BBBold


> Bei  1) brauchst Du das nicht nachweisen , denn V besteht
> aus nxm - Matrizen und bei solchen Matrizen ist die
> Addition kommutativ
>  
>
>
> >  Assoziativität bzgl Addition:

>  >  m+(n+o) = (m+n)+o?
>  
> Wie oben.

Hallo danke für die schnelle Antwort.
Darf ich dann also ohne weitere mathematische erläuterung sagen, dass, eben weil V aus nxm-Matrizen besteht, die Assoziativität und Kommutativität gilt?


> V ist doch eine Teilmenge des Vektorraumes M aller nxm -
> Matrizen.
>  
> Dann: V ist ein Vektorraum [mm]\gdw[/mm] V ist ein Untervektorraum
> von M.
>  
>
> Prüfe also folgendes nach:
>  
> 1. Ist die Nullmatrix in V ?

Das bedeutet, ist das neutrale Element der Addition in V?

> 2. Sind [mm]X_1[/mm] , [mm]X_2 \in[/mm] V und sind s, t [mm]\in[/mm] K , ist dann
> [mm]sX_1+tX_2 \in[/mm] V ?

Das scheint  die Distributivität zu sein, ist  das richtig?
Und die gilt doch.

Mich verwirrt, dass AX = 0 sein muss. Worauf muss ich hierbei eigentlich achten?

Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Do 15.10.2009
Autor: angela.h.b.

Hallo,

in (1) sind die Elemente Deiner Menge V spezielle nxm-Matrizen,

nämlich diejenigen Matrizen X, für die das Produkt mit einer fest vorgegebenen mxn-Matrix A die Nullmatrix ergibt.

Die betrachteten Verknüpfungen (diese gehören zu einem VR immer dazu) sind die "normale" Addition von Matrizen und die Multiplikation von Elementen aus K mit Matrizen.


Sollst Du nun zeigen, daß es sich hierbei um einen VR über K handelt, so sind im Prinzip alle VR-Axiome nacheinander abzuhandeln - natürlich darfst Du darauf zurückgereifen, was Du schon in der Vorlesung über Matrizen gelernt hast.

Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm] X,Y\in [/mm] V die Summe X+Y auch  in V liegt.
Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt? Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die Nullmatrix herauskommen.
Gucken wir also nach, ob das stimmt:

Seien [mm] X,Y\in [/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.

Es ist A(X+Y)= ???,   also?

Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und inverses Element.

Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt prüfen, ob es wirklich in V liegt.

Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.

Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit Skalaren.

Zunächst mußt Du feststellen, ob für jedes [mm] \lambda\in [/mm] K und für jedes X [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda [/mm] X auch in V ist, ob also [mm] A(\lambdaX)=0 [/mm] gilt.

Danach sind dann die Gesetze

I: [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * X) = [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * X
IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y
IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,
sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des Körpers K
III: 1 * X = X

zu prüfen für alle [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K und [mm] X,Y\in [/mm] V.

Auch hier darfst Du wieder verwenden, was Du über das Rechnen mit Matrizen gelernt hast.

---

Da ganze kann man abkürzen. Da V eine Teilmenge des VRes der n+m-Matrizen über K ist, genügt es, die drei Unterraumkriterien zu zeigen - sofern "Unterraum" bereits dran war.
Dann beschränkt sich die Untersuchung darauf,
ob die Nullmatrix in V liegt,
ob für [mm] X,Y\in [/mm] V die Summe X+Y auch  in V liegt,
ob für jedes X [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda [/mm] X auch in V ist.

Die letzten beiden Bedingungen hatte fred zu einer zusammengefaßt:

> > 2. Sind [mm]X_1[/mm] , [mm]X_2 \in[/mm] V und sind s, t [mm]\in[/mm] K , ist dann
> > [mm]sX_1+tX_2 \in[/mm] V ?
>  Das scheint  die Distributivität zu sein, ist  das
> richtig?

Nein, die Distributivität sind IIa und IIb.

Hier geht es darum, daß Du mit Deinen Verknüpfungen wieder Elemente aus V erhältst und nicht etwa über die Menge V "hinausschießt".


>  Und die gilt doch.
>  
> Mich verwirrt, dass AX = 0 sein muss. Worauf muss ich
> hierbei eigentlich achten?
>  
> Vielen Dank nochmal für die Hilfe!


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Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Do 15.10.2009
Autor: together

Hallo zusammen,

ich habe die gleiche Aufgabe und komme leider auch nicht weiter.
Da ich neu bin, hoffe ich, dass ich alles korrekt angebe und eintrage....

>  
> Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> Summe X+Y auch  in V liegt.
>  Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> Nullmatrix herauskommen.
>  Gucken wir also nach, ob das stimmt:
>  
> Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  
> Es ist A(X+Y)= ???,   also?

A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm] \in [/mm] V

Stimmt das so?

>  
> Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> inverses Element.
>  
> Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> prüfen, ob es wirklich in V liegt.
>  
> Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
>  

WIe genau zeige ich, dass es in V liegt?  Nehme ich nicht einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist das ein totaler Denkfehler?

> Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> Skalaren.
>  

Vielen Dank und herzliche Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Do 15.10.2009
Autor: angela.h.b.



Hallo,

[willkommenmr].

>  >  
> > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > Summe X+Y auch  in V liegt.
>  >  Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > Nullmatrix herauskommen.
>  >  Gucken wir also nach, ob das stimmt:
>  >  
> > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  >  
> > Es ist A(X+Y)= ???,   also?
>  
> A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
>  
> Stimmt das so?

Fast: es folgt [mm] (X+Y)\in [/mm] V.

>  
> >  

> > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > inverses Element.
>  >  
> > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
>  >  
> > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
>  >  
>
> WIe genau zeige ich, dass es in V liegt?  Nehme ich nicht
> einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> das ein totaler Denkfehler?

Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm] X\in [/mm] V ein Inverses bzgl. + hat.

Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm] X=(x_i_k) [/mm] die Matrix  [mm] -X=(-x_i_k) [/mm] das Inverse ist.

Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt. Wenn ja, dann liegt -X in V.

Gruß v. Angela

>  
> > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > Skalaren.
>  >  
> Vielen Dank und herzliche Grüße


Bezug
                                                
Bezug
Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Do 15.10.2009
Autor: together


>
>
> Hallo,
>  
> [willkommenmr].
>  
> >  >  

> > > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > > Summe X+Y auch  in V liegt.
>  >  >  Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > > Nullmatrix herauskommen.
>  >  >  Gucken wir also nach, ob das stimmt:
>  >  >  
> > > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  >  >  
> > > Es ist A(X+Y)= ???,   also?
>  >  
> > A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
>  >  
> > Stimmt das so?
>  
> Fast: es folgt [mm](X+Y)\in[/mm] V.

Danke!

>  
> >  

> > >  

> > > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > > inverses Element.

kommutativ:

reicht hier zu sagen:
AX+AY=AY+AX=0+0=0 (Axiom1)???

Oder sogar X+Y=Y+X??

assoziativ:

reicht hier zu sagen: (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (Axiom2)???



>  >  >  
> > > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
>  >  >  
> > > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
>  >  >  
> >
> > WIe genau zeige ich, dass es in V liegt?  Nehme ich nicht
> > einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> > das ein totaler Denkfehler?
>  
> Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm]X\in[/mm] V ein
> Inverses bzgl. + hat.
>  
> Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm]X=(x_i_k)[/mm] die Matrix  
> [mm]-X=(-x_i_k)[/mm] das Inverse ist.
>  
> Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt.
> Wenn ja, dann liegt -X in V.

also:
AX=0
z. z. AX+A(-X)=0
0+A(-X)=0-AX=0-0=0
es folgt -X [mm] \in [/mm] V???

Grüße

>  
> Gruß v. Angela
>  
> >  

> > > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > > Skalaren.
>  >  >  
> > Vielen Dank und herzliche Grüße
>  


Über DEnkanstöße bei der Multiplikation bin ich auch dankbar!

ISt mein erster Beweis und da ist alles sehr sehr holprig....

Muss da die Multiplikation mit Lambda  wieder den Nullmatrix ergeben?

Bezug
                                                        
Bezug
Vektorräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:24 Fr 16.10.2009
Autor: together


> >
> >
> > Hallo,
>  >  
> > [willkommenmr].
>  >  
> > >  >  

> > > > Zunächst mal ist zu überprüfen, ob für [mm]X,Y\in[/mm] V die
> > > > Summe X+Y auch  in V liegt.
>  >  >  >  Wie stellst Du fest, ob eine Matrix in V liegt?
> > > > Multiplizierst Du A von links damit, dann muß die
> > > > Nullmatrix herauskommen.
>  >  >  >  Gucken wir also nach, ob das stimmt:
>  >  >  >  
> > > > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  >  >  >  
> > > > Es ist A(X+Y)= ???,   also?
>  >  >  
> > > A(X+Y)=AX+AY=0+0=0 ==> A(X+Y) [mm]\in[/mm] V
>  >  >  
> > > Stimmt das so?
>  >  
> > Fast: es folgt [mm](X+Y)\in[/mm] V.
>  
> Danke!
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Nun mußt Du die Axiome zeigen, die mit der Addition
> > > > zusammenhängen, also assoziativ, kommutativ, neutrales und
> > > > inverses Element.
>  
> kommutativ:
>  
> reicht hier zu sagen:
> AX+AY=AY+AX=0+0=0 (Axiom1)???
>  
> Oder sogar X+Y=Y+X??
>  
> assoziativ:
>  
> reicht hier zu sagen: (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (Axiom2)???
>  
>
>
> >  >  >  

> > > > Assoziativität und Kommutativität kennst Du aus der
> > > > Vorlesung, das neutrale Element auch - aber Du mußt
> > > > prüfen, ob es wirklich in V liegt.
>  >  >  >  
> > > > Auch das inverse zu einer jeden Matrix bzgl. + sollte Dir
> > > > bekannt sein, nachschauen mußt Du wieder, ob es in V ist.
>  >  >  >  
> > >
> > > WIe genau zeige ich, dass es in V liegt?  Nehme ich nicht
> > > einfach an, dass X, Y \ V?? Oder muss X=0 und Y=0, oder ist
> > > das ein totaler Denkfehler?
>  >  
> > Zum Inversen: Du mußt ja zeigen, daß jedes [mm]X\in[/mm] V ein
> > Inverses bzgl. + hat.
>  >  
> > Nun, Du weißt sicher schon, daß zu [mm]X=(x_i_k)[/mm] die Matrix  
> > [mm]-X=(-x_i_k)[/mm] das Inverse ist.
>  >  
> > Nun mußt Du nachschauen, ob A*(-X) die Nullmatrix ergibt.
> > Wenn ja, dann liegt -X in V.
>  
> also:
>  AX=0
>  z. z. AX+A(-X)=0
>  0+A(-X)=0-AX=0-0=0
>  es folgt -X [mm]\in[/mm] V???
>  
> Grüße
>  >  
> > Gruß v. Angela
>  >  
> > >  

> > > > Es schließen sich an die Axiome zur Multiplikation mit
> > > > Skalaren.
>  >  >  >  
> > > Vielen Dank und herzliche Grüße
> >  

>
>
> Über DEnkanstöße bei der Multiplikation bin ich auch
> dankbar!
>  
> ISt mein erster Beweis und da ist alles sehr sehr
> holprig....
>  
> Muss da die Multiplikation mit Lambda  wieder den
> Nullmatrix ergeben?


Kann mir hier jemand noch einen Denkanstoß geben und gucken ob meine vorigen Ansätze richtig sind?

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Bezug
Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Fr 16.10.2009
Autor: leduart

Hallo
1. Loesch doch in den neuen posts die Zetate, die erledigt sind.
du willst zeigen wenn [mm] X\in [/mm] V dann auch r*X in V
also Beh: A*r*X=0 jetzt regeln der Matrixmult.
[mm] a_{ik}*r*{x_jl}=r*a_{ik}*{x_jl} [/mm]
deshalb A*r*X=r*A*X=0
Du musst eben immer Zeigen, dass A*behaupteter Vektor=0
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Do 15.10.2009
Autor: BBBold


> Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  
> Es ist A(X+Y)= ???,   also?

A(X+Y) = AX + AY = 0. Was habe ich damit gezeigt?
Dass A(X+Y) in V ist? Wenn ja, was bringt mir das jetzt?

> I: [mm] \alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * X) = [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * X

Kannst du mir hierbei bitte einen Ansatz angeben?

>  IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y

Für meinen Fall: a * (X + Y) = a * X + a * Y = 0 + 0 = 0, also gilt die Distributivität?

>  IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,

analog zu IIa?

>  sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des
> Körpers K
>  III: 1 * X = X

1*X = X gilt auch.

>  
> zu prüfen für alle [mm]\alpha, \beta \in[/mm] K und [mm]X,Y\in[/mm] V.

Vielen Dank für die nette Hilfe Angela!

Bezug
                                        
Bezug
Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:48 Fr 16.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> > Seien [mm]X,Y\in[/mm] V. Dann ist AX=0 und AY=0.
>  >  
> > Es ist A(X+Y)= ???,   also?
>  
> A(X+Y) = AX + AY = 0. Was habe ich damit gezeigt?
>  Dass A(X+Y) in V ist? Wenn ja, was bringt mir das jetzt?

Na, es gilt doch $A Z = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] Z [mm] \in [/mm] V$. Also gilt $A (X + Y) = 0 [mm] \Leftrigtarrow [/mm] X + Y [mm] \in [/mm] V$. Damit hast du gezeigt, dass $X + Y [mm] \in [/mm] V$ ist.

> > I: [mm] \alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * X) = [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * X
>  Kannst du mir hierbei bitte einen Ansatz angeben?

Nimm eine Matrix $X$ mit $A X = 0$, einen Skalar [mm] $\alpha$ [/mm] und einen Skalar [mm] $\beta$. [/mm] Schreib hin, was du zeigen musst. Dann rechne los. (Wenn ihr keine passenden Rechenregeln habt: schreibe $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] und rechne es von Hand nach.)

>  >  IIa: α * (X + Y) = α * X + α * Y
>  Für meinen Fall: a * (X + Y) = a * X + a * Y = 0 + 0 = 0,
> also gilt die Distributivität?

Wieso ist $a X = 0$ und $a Y = 0$? Du verwechselst wohl $a$ mit $A$...

>  >  IIb: (α + β) * X= α * X + β * X,
>  analog zu IIa?

Ja.

>  >  sowie die Neutralität der 1 (als Einselement) des
> > Körpers K
>  >  III: 1 * X = X
>  1*X = X gilt auch.

Ja.

LG Felix


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Vektorräume: Kurzer Überblick
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Fr 16.10.2009
Autor: HJKweseleit

Bei (1) und (3) arbeitest du mit Matrizen/Vektoren und Matrizen-/Vektor-Operationen, die bereits Elemente eines (übergeordneten) Vektorraumes sind. Deshalb brauchst du von den Eigenschaften des Vektorraumes nur nachzuweisen, dass die "speziell ausgesuchten" Matrizen/Vektoren und ihre Vielfachen eine abgeschlossene Menge bilden. Also [mm] x\in [/mm] V und y [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] V und k*x [mm] \in [/mm] V.

Bei (1) kannst du nachweisen, dass die Addition nicht mal assoziativ ist (nimm 3,7+3,7+3,1).

Bei (4) m usst du schon mal die 0 aus [mm] \IR [/mm] entfernen, weil sie kein Inverses hat (wie heißt das Neutrale Element?); Das Skalarprodukt klappt dann aber trotzdem nicht...

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