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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Fr 28.08.2009 | | Autor: | deny-m |
| Aufgabe | Prüfen Sie ob die folgende Menge ( mit jeweils angegebenen Additionen und Multiplikationen mit Skalaren) Vektorräume bildet.
[mm] M_1:={f: \IR \to \IR | f(x) := 1+a sin(x), alle\ x\ \in \IR, a \in \IR } [/mm]
(f+g)(x) := f(x) + g(x), x [mm] \in \IR, [/mm] f,g [mm] \in M_1
[/mm]
[mm] (\lambda*f)(x) [/mm] := [mm] \lambda [/mm] f(x), x [mm] \in \IR, \lambda \in \IR, [/mm] f [mm] \in M_1 [/mm] |
Die Lösung sagt, dass es kein Vektorraum ist, weil es dem Axiomen des Vektorraumes widerspricht, denn sei V ein Vektorraum und v [mm] \in [/mm] V, dann gilt v + (-v) = v + (-1)*v = 0 [mm] \in [/mm] V, welches hier nicht erfüllt ist.
Mein Problem ist es, dass ich nicht verstehe wie man es zeigen kann.
Ich denke so:
Mein [mm] v:=\vektor{1+a sin(x_1) \\ 1+a sin(x_2)}
[/mm]
Und wenn ich irgendwelche werte einsetze und v-v rechne, bekomme ich = 0, also v-v=0!
Welchen Denkfehler mache ich! Definiere ich v ganz falsch???
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> Prüfen Sie ob die folgende Menge ( mit jeweils angegebenen
> Additionen und Multiplikationen mit Skalaren) Vektorräume
> bildet.
>
[mm] >M_1:=\{f: \IR \to \IR | f(x) := 1+a sin(x), alle\ x\ \in \IR, a \in \IR \}
[/mm]
> (f+g)(x) := f(x) + g(x), x [mm]\in \IR,[/mm] f,g [mm]\in M_1[/mm]
>
> [mm](\lambda*f)(x)[/mm] := [mm]\lambda[/mm] f(x), x [mm]\in \IR, \lambda \in \IR,[/mm]
> f [mm]\in M_1[/mm]
Hallo,
Du hast die Menge überhaupt nicht verstanden.
Die Menge enthält Funktionen.
Zum Beispiel die Funktionen
[mm] f_{-5}, f_0, f_{13}:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] f_{-5}(x):=1-5sin(x)
[/mm]
[mm] f_{0}:=1-0*sin(x)=1
[/mm]
[mm] f_{13}:=1+13sin(x).
[/mm]
Deine v sind hier also Funktionen.
Du kannst Dir überlegen, daß das neutrale Element der Addition hier die Nullfunktion ist, welche aber gar nicht in [mm] M_1 [/mm] enthalten ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Fr 28.08.2009 | | Autor: | deny-m |
Danke erstmal für die Antwort!
Kannst du mir noch erklären, wie man diese Menge so ließt, wie du es gemacht hast! Also warum lassen wir x in Ruhe und verändern a???
Das mit der Nullfunktion habe ich verstanden!
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Hallo,
zunächst einmal ist es wichtig, sich klarzumachen, daß es einen Unterschied gibt zwischen der Funktion f und ihrem Funktionswert an der Stelle x, also f(x).
>>> [mm] M_1:=\{f: \IR \to \IR | f(x) := 1+a sin(x), alle\ x\ \in \IR, a \in \IR\} [/mm]
"f: [mm] \IR\to \IR" [/mm] teilt einem mit, daß die Elemente, die in [mm] M_1 [/mm] sind, reelle Funktionen sind.
Hinterm Strich wird nun erklärt, welche reellen Funktionen drin sind:
"f(x)" lehrt uns, daß wir Funktionen in Abhängigkeit von x betrachten, die variable ist also x,
und es wird die Funktionsvorschrift angegeben, also wie man zum Funktionswert an der Stelle x gelangt: f(x) := 1+a sin(x), alle\ x\ [mm] \in \IR.
[/mm]
"a [mm] \in \IR": [/mm] und zwar betrachten wir solche Funktionen für sämtliche reelle Zahlen a.
Ich finde Deine Menge übrigens häßlich aufgeschrieben.
Ich würde das so machen (aber mich fragt mal wieder keiner): [mm] M_1:=\{f_a: \IR \to \IR | f_a(x) := 1+a sin(x)\quad fuer alle\ x\ \in \IR, a \in \IR\} [/mm]
Gruß v. Angela
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