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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marianne |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute!!!
Bitte helf mir bei der Aufgabe, da ich mit Beweise große Probleme habe.
Aber schaut euch bitte die Aufgabe erstmal an.
(a) Sei A eine abzählbare Menge, und sei k [mm] \in [/mm] N. Dann ist [mm] A^{k} [/mm] abzählbar.
(b) Sei I eine nichtleere Menge und sei { [mm] A_{i} [/mm] } [mm] _{i\in I} [/mm] eine Familie von abzählbaren Mengen. Dann ist die Menge [mm] \bigcup [/mm] daneben [mm] _{i\in I} A_{ i}
[/mm]
abzählbar.
(c) Beweise oder widerlege: Für alle a, b [mm] \in F_{5} [/mm] gilt (a + [mm] b)^{5} [/mm] = [mm] a^{5} [/mm] + [mm] b^{5}.
[/mm]
(d) Gib einen [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] V und einen Unterraum U von V an, derart dass auch V \ U ein Unterraum von V ist, oder
beweise, dass das nicht möglich ist.
(e) Betrachte den [mm] \IR-Vektorraum \IR^{2}. [/mm] Gib einen Unterraum und zwei verschiedene Komplemente dazu an, also Unterräume
U, W, W' mit [mm] U\oplus [/mm] W = [mm] U\oplus [/mm] W' = [mm] \IR^{2} [/mm] und W [mm] \not= [/mm] W'.
(f) Gib ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem, das genau drei Lösungen besitzt.
So jetzt meine Fragen.
also erstmal zu f):
ich finde das fast zu einfach, weil nur ein Bsp. gefragt ist und wir gerade was ganz anderes behandeln. Es gibt doch bei Gleichungssystemen keinen Beug zu Vektorräumen? Sonst fänd ich eben leicht die Antwort, weil wir noch nicht mal was beweisen müssen.
zu e)
was bedeuten diese komischen Kreise mit Kreuz?
Was sind Komplemente und diese W?
zu c)
ich verstehe dies mit dem [mm] F_{5} [/mm] und das dadurch die Lösungen eingeschränkt werden, ich habe dies aber bloß mit multipl. oder addi. einzeln verstanden aber hier ist dies vermischt und so komme ich nicht weiter. Dies könnte mir vielleicht jemand erklären?
zu d)
was bedeutet nochmal dieser Querstrich zw. V, U?
bei a) und b)
komme ich leider überhaupt nicht weiter
mit dieser Vereinigung und was ist mit dem iunten und dem k oben
Vielleicht eine klein Erklärung.
Ich hoffe ich hab jetzt nicht zu viele Fragen gestellt, aber ich wusste jetzt echt nicht weiter.
Wäre toll, wenn mir jemand bei irgendeiner helfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Leute!!!
> Bitte helf mir bei der Aufgabe, da ich mit Beweise große
> Probleme habe.
> Aber schaut euch bitte die Aufgabe erstmal an.
>
> (a) Sei A eine abzählbare Menge, und sei k [mm]\in[/mm] N. Dann ist
> [mm]A^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
abzählbar.
> (b) Sei I eine nichtleere Menge und sei { [mm]A_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]_{i\in I}[/mm]
> eine Familie von abzählbaren Mengen. Dann ist die Menge
> [mm]\bigcup[/mm] daneben [mm]_{i\in I} A_{ i}
[/mm]
> abzählbar.
> (c) Beweise oder widerlege: Für alle a, b [mm]\in F_{5}[/mm] gilt
> (a + [mm]b)^{5}[/mm] = [mm]a^{5}[/mm] + [mm]b^{5}.
[/mm]
> (d) Gib einen [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] V und einen Unterraum U von
> V an, derart dass auch V \ U ein Unterraum von V ist,
> oder
> beweise, dass das nicht möglich ist.
> (e) Betrachte den [mm]\IR-Vektorraum \IR^{2}.[/mm] Gib einen
> Unterraum und zwei verschiedene Komplemente dazu an, also
> Unterräume
> U, W, W' mit [mm]U\oplus[/mm] W = [mm]U\oplus[/mm] W' = [mm]\IR^{2}[/mm] und W [mm]\not=[/mm]
> W'.
> (f) Gib ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem,
> das genau drei Lösungen besitzt.
>
> So jetzt meine Fragen.
> also erstmal zu f):
> ich finde das fast zu einfach, weil nur ein Bsp. gefragt
> ist und wir gerade was ganz anderes behandeln. Es gibt doch
> bei Gleichungssystemen keinen Beug zu Vektorräumen? Sonst
Oh doch. Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystem bilden
einen Vektorraum über dem Körper, der von den Koeffizienten des Gleichungsszystems erzeugt wird.
Will man ein lineares Gleichungssystem mit genau drei Lösungen, so müssen die Koeffizienten
aus dem Körper [mm] $\IF_3$ [/mm] kommen.
> fänd ich eben leicht die Antwort, weil wir noch nicht mal
> was beweisen müssen.
> zu e)
> was bedeuten diese komischen Kreise mit Kreuz?
Das ist die direkte Summe. [mm] $V=U\oplus [/mm] W$ heisst:
i) [mm] $U\cap [/mm] W={0}$
ii) $U+W=V$(jeder Vektor aus V lässt sich als Summe von Vektoren aus U und W schreiben)
> Was sind Komplemente und diese W?
Ist W ein Unterraum, so ist ein Komplement ein linearer Unterraum U so, dass [mm] $W\oplus [/mm] U=V$.
> zu c)
> ich verstehe dies mit dem [mm]F_{5}[/mm] und das dadurch die
> Lösungen eingeschränkt werden, ich habe dies aber bloß mit
> multipl. oder addi. einzeln verstanden aber hier ist dies
> vermischt und so komme ich nicht weiter. Dies könnte mir
> vielleicht jemand erklären?
[mm] $\IF_5$ [/mm] sind die Restklassen bei der Division durch 5. Diese 5 Restklassen bilden einen Körper.
D.h. man kann genau gleich rechnen wie in [mm] $\IN$, [/mm] muss aber laufend den 5-er Rest berechnen.
In diesem Sinne ist 5=0, weil der 5-er Rest von 5 bei der Division durch 5 gleich 0 ist.
[mm] (a+b)^5 [/mm] kannst du mit der binomischen Formel ausrechnen, um dann festzustellen, dass alle Koeffizienten (ausser bei [mm] $a^5$ [/mm] und bei [mm] $b^5$) [/mm] durch 5 teilbar sind, also 0 sind.
> zu d)
> was bedeutet nochmal dieser Querstrich zw. V, U?
Normalerweise ist das in der Mengenlehre die Mengendifferenz.
> bei a) und b)
> komme ich leider überhaupt nicht weiter
> mit dieser Vereinigung und was ist mit dem iunten und dem
> k oben
> Vielleicht eine klein Erklärung.
[mm] $A^k$ [/mm] ist dass k-fache kartesische Produkt der Menge A , d.h. [mm] $A^k=\underbrace{A\times\dots\times A}_{k \mathrm{Faktoren}}$.
[/mm]
I muss man sich als eine Indexmenge vorstellen. Für jeden Index [mm] $i\in [/mm] I$ ist eine Menge [mm] $A_i$ [/mm] gegeben.
Jetzt vereinigt man alle Mengen [mm] $A_i$. [/mm] (Ich nehme an, dass die Menge I auch abzählbar ist, sonst stimmt es nämlich nicht).
mfG Moudi
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> Ich hoffe ich hab jetzt nicht zu viele Fragen gestellt,
> aber ich wusste jetzt echt nicht weiter.
> Wäre toll, wenn mir jemand bei irgendeiner helfen
> könnte.
> Danke
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