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| Aufgabe | Es seien vektor [mm] x=(2,-2,3)^T [/mm] und vektor [mm] y=(-4,4,-7)^T [/mm] elemente aus [mm] R^3.
[/mm]
Man berechne das Vektorprodukt X x Y und gebe eine Basis für [mm] R^3 [/mm] an, die die beiden Vektoren x und y enthält. |
hallo,
die vektoren müssen ja linear unabhängig sein damit sie eine Basis bilden können. um den 3. vektor rauszubekommen muss ich ja das vektorprodukt berechnen. den das ergebnis des vektorprodukts ist ja der dritte vektor. so, nun kommt eine frage zum verständnis.
wenn ich das kreuzprodukt berechne und dieses NICHT null ergibt, habe ich gezeigt 1) dass die beiden vektoren linear unabhängig sind
2) und wenn es ungleich null ist, ist direkt das ergebins, mein 3. vektor den ich zur basis benötige.
wäre damit bei mir die ganze aufgabe fertig? und vor allem richtig? und sind meine auffassungen richtig oder habe ich was falsch verstanden?
vielen dank für jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien vektor [mm]x=(2,-2,3)^T[/mm] und vektor [mm]y=(-4,4,-7)^T[/mm]
> elemente aus [mm]R^3.[/mm]
> Man berechne das Vektorprodukt X x Y und gebe eine Basis
> für [mm]R^3[/mm] an, die die beiden Vektoren x und y enthält.
> hallo,
>
> die vektoren müssen ja linear unabhängig sein damit sie
> eine Basis bilden können. um den 3. vektor rauszubekommen
> muss ich ja das vektorprodukt berechnen. den das ergebnis
> des vektorprodukts ist ja der dritte vektor. so, nun kommt
> eine frage zum verständnis.
> wenn ich das kreuzprodukt berechne und dieses NICHT null
> ergibt, habe ich gezeigt 1) dass die beiden vektoren linear
> unabhängig sind
Ja, denn das Kreuzprodukt lin. abhängiger Vektoren = 0
> 2) und wenn es ungleich null ist, ist direkt das ergebins,
> mein 3. vektor den ich zur basis benötige.
Ja, ist $z= x [mm] \times [/mm] y$ und z [mm] \ne [/mm] 0, so steht z senkrecht auf x und auf y. Damit sind x,y,z lin. unabhängig
>
> wäre damit bei mir die ganze aufgabe fertig?
Ja
> und vor allem
> richtig?
Ja
> und sind meine auffassungen richtig
Ja
> oder habe ich
> was falsch verstanden?
Nein
>
> vielen dank für jede hilfe
Bitte
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 27.02.2011 | | Autor: | TeQ |
Hallo ich habe die selbe aufgabe. verstehe ich das richtig, dass die 3 vektoren dann die basis von [mm] R^3 [/mm] bilden oder muss ich mit den 3 vektoren noch weiterrechnen, um die basis zu bekommen?
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Hi,
> Hallo ich habe die selbe aufgabe. verstehe ich das richtig,
> dass die 3 vektoren dann die basis von [mm]R^3[/mm] bilden oder muss
> ich mit den 3 vektoren noch weiterrechnen, um die basis zu
> bekommen?
nach Eigenschaft des Kreuzprodukts zweier Vektoren a,b ist das Kreuzprodukt [mm] $a\times [/mm] b$ genau dann nicht der Nullvektor, wenn a und b linear unabhängig sind.
Im Beispiel ist [mm] z=x\times y\neq [/mm] 0, also x und y sind linear unabhängig. Damit steht z senkrecht auf x und y. Dann ist aber klar, dass auch z linear unabhängig von x und y ist.
Da x,y,z linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis vom [mm] \IR^3, [/mm] da alle Basen des [mm] \IR^3 [/mm] die Länge 3 haben.
Gruß
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