Vektorprodukt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 14.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer Analytische Geometrie mit linearer Algebra, wo ich nicht wirklich weiter komme.
Und zwar soll bewiesen werden:
(a,b,c) = 0 [mm] \gdw [/mm] a,b,c sind linear abhängig. ( Das Vektorprodukt a,b,c, soll null sein! )
Linear abhängig bedeutet ja dass sich ein Vektor, z.b a als Linearkombination der anderen darstellen lässt, z.B. a = b*c
Und (a,b,c) ist definiert als= (a*b) ( hier meine ich a kreuz b, also das Vektorprodukt ) * ( normale Multiplikation ) c
Aber ich habe keine Ahnung wie ich den Beweis führen könnte?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 14.06.2006 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo annaL,
ich werde Vektoren durch einen Unterstrich kennzeichnen, dann ist "x" immer das Kreuzprodukt.
1.) Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren steht senkrecht auf diesen Vektoren.
2.) Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Fangen wir mit der einfachen Richtung an:
"<=":
Seien [mm] $\underline{a}$, $\underline{b}$ [/mm] und [mm] $\underline{c}$ [/mm] linear abhängig, d.h. [mm] $\underline{c}$ [/mm] lässt sich darstellen als [mm] $\underline{c} [/mm] = [mm] \alpha\underline{a} [/mm] + [mm] \beta\underline{b}$.
[/mm]
Setzen wir das einfach ein:
[mm] $(\underline{a},\underline{b},\underline{c}) [/mm] = [mm] (\underline{a}x\underline{b})\cdot(\alpha\underline{a}+\beta\underline{b}) [/mm] = [mm] \alpha(\underline{a}x\underline{b})\cdot\underline{a} [/mm] + [mm] \beta(\underline{a}x\underline{b})\cdot\underline{b}$
[/mm]
Nach 1.) steht [mm] $\underline{a}x\underline{b}$ [/mm] sowohl auf [mm] $\underline{a}$ [/mm] als auch auf [mm] $\underline{b}$ [/mm] senkrecht. Nach 2.) sind dann beide Produkte 0, also
[mm] $(\underline{a},\underline{b},\underline{c}) [/mm] = 0+0 = 0$
"=>"
Es gelte [mm] $(\underline{a},\underline{b},\underline{c}) [/mm] = 0$.
Angenommen, [mm] $\underline{a}$, $\underline{b}$ [/mm] und [mm] $\underline{c}$ [/mm] seien nicht abhängig.
Dann lässt sich [mm] $\underline{c}$ [/mm] nicht darstellen als [mm] $\alpha\underline{a}+\beta\underline{b}$, [/mm] sondern als (da wir im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind: [mm] $\alpha\underline{a}+\beta\underline{b}+\gamma(\underline{a}x\underline{b})$
[/mm]
[mm] ($\gamma \not= [/mm] 0$)
Nun ist aber gerade
[mm] $(\underline{a},\underline{b},\underline{c}) [/mm] = [mm] (\underline{a}x\underline{b})\cdot\underline{c} [/mm] = [mm] \alpha(\underline{a}x\underline{b})\cdot\underline{a}+\beta(\underline{a}x\underline{b})\cdot\underline{b}+\gamma(\underline{a}x\underline{b})\cdot(\underline{a}x\underline{b}) [/mm] = 0 + 0 + [mm] \gamma(\underline{a}x\underline{b})\cdot(\underline{a}x\underline{b}) \not= [/mm] 0$
Was ein Widerspruch zur Voraussetzung [mm] $(\underline{a},\underline{b},\underline{c}) [/mm] = 0$ ist.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo AT-Colt,
warum nimmst du [mm] \text{\\underline}\{ a\} [/mm] und nicht [mm] \text{\\vec}\{a\}
[/mm]
in der Darstellung [mm] \underline{a} [/mm] vs. [mm] \vec{a}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mi 14.06.2006 | | Autor: | AT-Colt |
Schlechte Angewohnheit aus der theoretischen Physik, nicht steinigen bitte ^^;
Zugegebenermaßen wäre vec aber kürzer :P
greetz
AT-Colt
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