Vektorielle Abhänigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Die Vektoren x, y, z seien linear unabhängig. Untersuche, ob dann auch die Vektoren u, v, w linear unabhängig sind, wenn gilt:
u=y+x v=3x-y+2z w=-2x+y-z |
Ich habs schon mit ineinander einsetzen probiert, allerdings macht das das ganze nur komplizierter, daher hoffe ich auf eure Unterstützung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Überprüfe, ob aus
$0=r*u+s*v+t*w$ (r,s und t Skalare)
zwingend folgt, das r=s=t=0 ist.
Wenn das so ist, so sind u,v,w linear unabhängig, andernfalls linear abhängig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Das habe ich jetzt gemacht, u, v und w durch x, y und z ersetzt, ausmultipliziert, dann die Vektoren ausgeklammert und ein LGS aufgemacht. Daraus hat sich dann ergeben, dass [mm] \lambda=\mu=\nu=0 [/mm] ist. Ergo sind u, v und w linear unabhängig, korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich jetzt gemacht, u, v und w durch x, y und z
> ersetzt, ausmultipliziert, dann die Vektoren ausgeklammert
> und ein LGS aufgemacht. Daraus hat sich dann ergeben, dass
> [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm] ist.
> Ergo sind u, v und w linear
> unabhängig, korrekt?
Ja, wenn Du mit [mm] \lambda, \mu [/mm] , [mm] \nu [/mm] die Skalare meinst, die ich mit r,s t bez. habe.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ja, wir benennen die immer so, deswegen hab ich das mal beibehalten. Vielen Dank für deine Hilfe!
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> Die Vektoren x, y, z seien linear unabhängig. Untersuche,
> ob dann auch die Vektoren u, v, w linear unabhängig sind,
> wenn gilt:
>
> u=y+x v=3x-y+2z w=-2x+y-z
> Ich habs schon mit ineinander einsetzen probiert,
> allerdings macht das das ganze nur komplizierter, daher
> hoffe ich auf eure Unterstützung.
Wenn x,y,z linear unabhängig sind, könnte man sie
als Basisvektoren eines Koordinatensystems erklären,
in welchem dann
$\ u\ =\ [mm] \pmat{1\\1\\0}$ [/mm] $\ v\ =\ [mm] \pmat{3\\-1\\2}$ [/mm] $\ w\ =\ [mm] \pmat{-2\\1\\-1}$
[/mm]
gilt. Vorteil: Einsparung von Schreibarbeit.
Auf lineare Unabhängigkeit kann man dann z.B.
durch Berechnen der Determinante
$\ [mm] det\left(\pmat{1&3&-2\\1&-1&1\\0&2&-1}\right)$
[/mm]
testen.
LG Al-Chw.
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