Vektorgleichungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 31.12.2005 | | Autor: | UniH |
| Aufgabe | Welche Punkte mit Ortsvektoren [mm]\vec r [/mm] lösen die Gleichung ([mm]\vec r [/mm]-[mm]\vec a[/mm])[mm]\vec r[/mm]=0
wenn [mm]\vec a[/mm] ein fest vorgegebener Vektor ist? Hinweis: Addieren Sie zur ersten Gleichung etwas, so dass ein vollständiges Quadrat entsteht. |
Hallo Mathefreunde!
Hier meine Problemstellung:
Ich weiss, dass [mm]\vec r[/mm]- [mm]\vec a[/mm] senkrecht auf [mm]\vec r[/mm] stehen muss,damit die obige Gleichung erfüllt ist. Aber wie komme ich dann auf ein Quadrat?Wenn ich es ausmultipliziere erhalte ich Skalarprodukte! Oder soll ich gar nicht ein Quadrat aus Vektoren bilden?
[mm]\vec r² [/mm]-[mm]\vec r [/mm][mm]\vec a [/mm]=0
Wo ist mein Denkfehler?
Freue mich auf eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 01.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Henning
Es sieht so aus wie das Lösen einer quadratischen Gleichung, die man mittels quadratisch Ergänzen löst.
[mm]\begin{array}{rl}(\vec r-\vec a)\vec a=0\quad\Leftrightarrow\quad
& \vec r^2-\vec r\cdot \vec a=0\\
\Leftrightarrow\quad & \vec r^2-\vec r\cdot \vec a +\frac14 \vec a^2=\frac14 \vec a^2 \\
\Leftrightarrow\quad & (\vec r-\frac12 \vec a)^2=(\frac12 \vec a)^2\\
\Leftrightarrow\quad & |\vec r-\frac12 \vec a |= |\frac12\vec a |
\end{array} [/mm]
Die Menge [mm] $\{\vec r \in \mathbb R^3\Big| |\vec r |= |\frac12 \vec a |\}$ [/mm] ist eine Kugel mit Radius [mm] $\frac12 |\vec [/mm] a |$ und Mittelpunkt M(0,0,0). Entsprechend ist die Menge [mm] $\{\vec r \in \mathbb R^3\Big| |\vec r-\frac12\vec a |= |\frac12 \vec a |\}$ [/mm] eine Kugel mit Radius [mm] $\frac12 |\vec [/mm] a |$ und dessen Ortsvektor des Mittelpunkts gegeben ist durch [mm] $\frac12 \vec [/mm] a$, d.h. [mm] $M(\frac12 a_1,\frac [/mm] 12 [mm] a_2,\frac [/mm] 12 [mm] a_3)$, [/mm] wenn [mm] $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$.
[/mm]
mfg Moudi
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