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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 15.05.2007 | | Autor: | Phecda |
hi ich hab die frage im physikforum geschrieben aber da antwortet keiner *gg* ich denke nicht dass die frage schwer ist aber wahrscheinlich müssen das doch richtige mathematiker beantworten *gg* ... (aber nix gegen physiker)
hi eine frage zum vektorfeld:
Ein Vektorfeld v ist doch ein Gradientenfeld wenn rot v= 0 ist. Diese Aussage hat eine äquivalente Form d.h. wenn rot v = 0 dann ist v ein Gradientenfeld.
Ist das so richtig?
Oder stimmt das nur wenn v in einem einfach zusammenhängendem Gebiet liegt?
Kann mir jmd genau sagen wie das genau ist?
und noch eine Frage
wie erkenne ich denn ein zusammenhängendes Gebiet ohne jetzt bsp mir den Vektor in Derive zu zeichnen und zu schauen ob da ein Loch vorkommt. gibt es da einen mathematischen rechenweg..
(Das ganze erinnert mich an Polstellen bei gebrochenrationalen Funktion aus der Schule. gibt es beim vektorfeld auch einen rechneweg zu überprüfen wo sich ein loch befindet?)
Danke
mfg Phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 15.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> hi eine frage zum vektorfeld:
> Ein Vektorfeld v ist doch ein Gradientenfeld wenn rot v= 0
> ist. Diese Aussage hat eine äquivalente Form d.h. wenn rot
> v = 0 dann ist v ein Gradientenfeld.
> Ist das so richtig?
Wie du selbst schreibst nicht, aus Gradientefled folgt rotationsfrei, aber die Umkehrung nicht umbedingt.
> Oder stimmt das nur wenn v in einem einfach
> zusammenhängendem Gebiet liegt?
Also wenn v auf einem einfach zush. Gebiet definiert ist. Was legst du hier als Gebiert zu Grunde? Teilmenge im [m]\IR^3[/m], eine einfach zush. Mgf, oder was?
> Kann mir jmd genau sagen wie das genau ist?
Wiki erklärt es mal wieder.
> und noch eine Frage
> wie erkenne ich denn ein zusammenhängendes Gebiet ohne
> jetzt bsp mir den Vektor in Derive zu zeichnen und zu
> schauen ob da ein Loch vorkommt. gibt es da einen
> mathematischen rechenweg..
Häh? Das ist die Definitionsmenge deines Vektorfeldes, was hat das mit Zeichnen zu tun?
> (Das ganze erinnert mich an Polstellen bei
> gebrochenrationalen Funktion aus der Schule. gibt es beim
> vektorfeld auch einen rechneweg zu überprüfen wo sich ein
> loch befindet?)
Loch im Vektorfeld? Was meinst du? Eine Nullstelle? Die ist aber erlaubt.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich glaube du hast es falsch verstanden, was ein "Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet" ist. Also angenommen, du hast eine Abbildung v:D nach [mm] IR^{m}, [/mm] wobei D in [mm] IR^{n} [/mm] enthalten ist. Das ist dann ein Vektorfeld "auf D". Wenn v ein Gradientenfeld ist, dann gilt rot v=0. Umgekehrt gilt dies nicht. Es gilt aber bereits dann, wenn D ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist, also wenn du ein Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet hast.
In physikalischer Literatur wird übrigens oft von der Äquivalenz der beiden Bedingungen gesprochen. Das ist mathematisch nicht ganz korrekt, aber die meisten Vektorfelder in der Physik sind ja auf einfach zusammenhängenden Gebieten definiert. (Gravitationsfeld, elektromagnetisches Feld, Strömungsfeld, etc.)
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:56 Mi 16.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Um Nachzurechnen, ob eine Menge ein einfach zusammenhängend
> ist, musst du überprüfen, ob zu zwei Punkten ein Weg in D
> exestiert, der beide "verbindet".
Das ist falsch - es geht nicht um zusammenhängend, sondern um einfach zusammenhängend, das heisst bildlich, dass du jede Abbildung des Kreisrandes zu einer Abbildung auf dem Vollkreis füllen kannst. [m]\IR^2\backslah \{0\}[/m] ist nicht einfach zusammenhänged - und hier gilt der Satz eben auch nicht (Winkelfunktion)!
Eigentlich muss man hier dann Topolgie etc pp bemühen.
> In physikalischer Literatur wird übrigens oft von der
> Äquivalenz der beiden Bedingungen gesprochen. Das ist
> mathematisch nicht ganz korrekt, aber die meisten
> Vektorfelder in der Physik sind ja auf Gebieten definiert.
> (Gravitationsfeld, elektromagnetisches Feld, Strömungsfeld,
> etc.)
Also [m]H^1_{DR}(G)=0[/m] ist per Definition äquivalent dazu, den Rest weiss ich jetzt auch nicht ... aber einfach zush. ist hinreichend,
SEcki
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