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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Waltraud |
| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass U = {(x1,x2,x3)/ x1 + 2x2 + 3x3 = 0} ein Teilraum von R³ ist und die Vektoren [mm] \vec{b1} [/mm] = (-2; 1;0) und [mm] \vec{b2} [/mm] = (-3;0;1) eine Basis von U bilden. Fassen wir den R³ als geometrischen Vektorraum auf, wird U zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Notieren sie eine Gleichung von E1.
b)Betrachten sie die drei Punkte P= (1;1;1), Q = (3; q2;q3) und R = (2;5;r3). Die fehlenden Komponenten q2,q3 und r3 sollen nun so gewählt werden, dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] und [mm] \overrightarrow{PR} [/mm] linear abhängig sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.
Warum liegen die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden g1? Geben sie eine Gleichung dieser Geraden an und untersichen sie deren lage zur Ebene E1. |
Hallo Leute, nun ich es mal wieder so weit. Ich hab n Problem mit Aufgabe b) Ich komm da einfahc nicht weiter.
Bei a) hab ich raus, dass I, II und III bzw U Teilraum von R³ ist und das b1 und b2 eine Basis von U bilden, denn b1 und b2 erzeugen jeden Vektor des Unterraums U mit Hilfe der Koeffizienten. b,c bilden also ein Erzeugendensystem und sich gleichzeitig linear unabhängig.
Was die Ebenengleichung angeht, so hab ich folgende aufgestellt: E1: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Nun bitte ich euch bei Teilaufgabe b um Hilfe, da steig ich nicht mehr durch.
Vielen Dank
Gruß Waltraud
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> a) Zeigen sie, dass U = {(x1,x2,x3)/ x1 + 2x2 + 3x3 = 0}
> ein Teilraum von R³ ist und die Vektoren [mm]\vec{b1}[/mm] = (-2;
> 1;0) und [mm]\vec{b2}[/mm] = (-3;0;1) eine Basis von U bilden.
> Fassen wir den R³ als geometrischen Vektorraum auf, wird U
> zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Notieren sie
> eine Gleichung von E1.
>
> b)Betrachten sie die drei Punkte P= (1;1;1), Q = (3; q2;q3)
> und R = (2;5;r3). Die fehlenden Komponenten q2,q3 und r3
> sollen nun so gewählt werden, dass die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{PR}[/mm] linear abhängig
> sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.
> Warum liegen die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden
> g1? Geben sie eine Gleichung dieser Geraden an und
> untersichen sie deren lage zur Ebene E1.
> Hallo Leute, nun ich es mal wieder so weit. Ich hab n
> Problem mit Aufgabe b) Ich komm da einfahc nicht weiter.
> Bei a) hab ich raus, dass I, II und III bzw U Teilraum von
> R³ ist und das b1 und b2 eine Basis von U bilden, denn b1
> und b2 erzeugen jeden Vektor des Unterraums U mit Hilfe der
> Koeffizienten. b,c bilden also ein Erzeugendensystem und
> sich gleichzeitig linear unabhängig.
> Was die Ebenengleichung angeht, so hab ich folgende
> aufgestellt: E1: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Hallo,
wenn [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] und [mm]\overrightarrow{PR}[/mm] linear abhängig sein sollen, muß es ein k geben mit
[mm] \overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR},
[/mm]
also [mm] \vektor{2 \\ q_2-1\\q_3-1}=k\vektor{1 \\ 4\\r_3-1},
[/mm]
==> 2=k und [mm] q_2-1=4k [/mm] und [mm] q_3-1=k(r_3-1)
[/mm]
==> [mm] q_2=..., r_3=...*q_3+...
[/mm]
Nun ist in Deinen Vektoren
[mm] \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} [/mm] nur noch die Variable [mm] q_3 [/mm] enthalten.
Sollen sie in [mm] E_1 [/mm] liegen, müssen beide x1 + 2x2 + 3x3 = 0 erfüllen.
Ob das möglich ist, wird sich zeigen, ich habe nichts gerechnet.
Gruß v. Angela
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