Vektoren und Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich habe hier zwei Aufgaben, die ich einfach nicht lösen kann, weil ich keinen Ansatz finde:
1.1
Zeige, dass die Vektoren [mm] v_{1}: [/mm] = (0,1,...,1),
[mm] v_{2}: [/mm] = -(1,0,1,...,1), [mm] v_{n}: [/mm] = (1,...,1,0) für n [mm] \ge [/mm] 2 eine Basis des [mm] \IR^{n} [/mm] bilden.
1.2
Stelle [mm] e_{1}: [/mm] = (1,0,...,0) als Linearkombination von [mm] v_{1}, v_{2},..., v_{n} [/mm] dar.
2.
Die Funktion [mm] f_{1}, f_{2}, f_{3} \in [/mm] Abb ( [mm] \IR, \IR) [/mm] seien gegeben durch:
[mm] f_{1}(x): [/mm] = sin(x), [mm] f_{2}(x): [/mm] = sin(2x), [mm] f_{3}(x): [/mm] = (1+cos(x))sin(x).
Bestimme eine Basis von L( [mm] f_{1}, f_{2}, f_{3})
[/mm]
Würde mich sehr sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke im Voraus
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> Hallo,
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> ich habe hier zwei Aufgaben, die ich einfach nicht lösen
> kann, weil ich keinen Ansatz finde:
Hallo,
leider verrätst Du nicht, woran es scheitert...
Sind Dir die begriffe wie Basis, Linearkombination unklar?
Daher eher allgemeine Tips bzw. Erklärungen.
>
> 1.1
> Zeige, dass die Vektoren [mm]v_{1}:[/mm] = (0,1,...,1),
> [mm]v_{2}:[/mm] = -(1,0,1,...,1), [mm]v_{n}:[/mm] = (1,...,1,0) für n [mm]\ge[/mm] 2
> eine Basis des [mm]\IR^{n}[/mm] bilden.
Basis: das bedeutet "Linear unabhängig" und "Erzeugendensystem".
Zunächst ist die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, d.h. Linearkombination=0 ==> Linearfaktoren=0.
Also nimmst du an, Du hast [mm] k_1,k_2,...,k_n [/mm] mit
[mm] 0=k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n
[/mm]
Hieraus kriegst Du ein Gelichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten,
woraus irgendwie folgen muß, daß [mm] k-1=...=k_n=0.
[/mm]
Am besten, Du probierst es erstmal für n=2,3,4 zu lösen. So verstehst du am ehesten, was zu tun ist.
Danach gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder Ihr habt gelernt, daß der [mm] \IR^n [/mm] n-dimensional ist. Dann bist Du fertig, weil Du ja n linear unabhängige Vektoren hast.
Andernfalls mußt Du zeigen, daß man jedes Element von [mm] \IR^n [/mm] als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] schreiben kann.
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> 1.2
> Stelle [mm]e_{1}:[/mm] = (1,0,...,0) als Linearkombination von
> [mm]v_{1}, v_{2},..., v_{n}[/mm] dar.
Du mußt das Gleichungssystem
[mm] e_1= k_1v_1+....+k_nv_n [/mm] lösen.
>
> 2.
> Die Funktion [mm]f_{1}, f_{2}, f_{3} \in[/mm] Abb ( [mm]\IR, \IR)[/mm]
> seien gegeben durch:
>
> [mm]f_{1}(x):[/mm] = sin(x), [mm]f_{2}(x):[/mm] = sin(2x), [mm]f_{3}(x):[/mm] =
> (1+cos(x))sin(x).
>
> Bestimme eine Basis von L( [mm]f_{1}, f_{2}, f_{3})[/mm]
Mit L( [mm]f_{1}, f_{2}, f_{3})[/mm] wird die Menge der Linearkombinationen von [mm] f_1,f_2,f_3 [/mm] gemeint sein.
Kandidat für eine Basis wäre [mm] (f_1,f_2,f_3). [/mm] Prüf die lineare Unabhängigkeit und überlege, ob eine oder mehrere Funktionen verzichtbar sind.
Hier wird es nützlich sein, wenn Du Dich informierst, was sin(x)cos(x) ist.
Gruß v. Angela
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> Würde mich sehr sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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> Danke im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 20.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hi angela,
vielen dank für deine antwort. Ich habe nun zu 1.1 bisher folgendes gerechnet:
Z.z: [mm] k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+...k_{n}v_{n}= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow k_{1}=...=k_{n}= [/mm] 0 (linear unabhängig)
[mm] k_{1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + [mm] k_{2} \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1}+...+ k_{n} \vektor{1 \\ 1 \\ ... \\ 1 \\ 0} [/mm] = 0
[mm] \gdw \vektor{k_{1}0 \\ k_{1}1 \\ k_{1}1 \\ ... \\ k_{1}1} +...+\vektor{k_{n}1 \\ k_{n}1 \\ ... \\ k_{n}1 \\ k_{n}0}= [/mm] 0
[mm] \gdw \pmat{ k_{1}0 + k_{2}1 + ... + k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}0 + ... + k_{n}1 \\ ... \\ k_{1}1 + k_{2}1 + ... + k_{n}0}= [/mm] 0
[mm] \gdw \pmat{ 0 + k_{2} + k_{3} + ... + k_{n} \\ k_{1} + 0 + ... k_{n} \\ ... \\ k_{1} + k_{2} + ... + 0 }= [/mm] 0
1. Zeile: [mm] k_{n}= -k_{2} [/mm] - [mm] k_{3} [/mm] - ... - [mm] k_{n-1} [/mm] (einsetzen in 2. Zeile)
2. Zeile: [mm] k_{1} [/mm] + 0 + [mm] k_{3}+...+ -k_{2} [/mm] - [mm] k_{3} [/mm] - ... - [mm] k_{n-1} [/mm] = 0
[mm] \gdw k_{1} [/mm] - [mm] k_{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw k_{1}= k_{2} [/mm] einsetzen in 3. Zeile
3. Zeile: [mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{1}+ [/mm] 0+ ... [mm] -k_{2}- k_{3} [/mm] - ... [mm] k_{n-1} [/mm] =0
[mm] \gdw k_{1} [/mm] - [mm] k_{3} [/mm] = 0 [mm] \gdw k_{1}= k_{3} [/mm]
dies kann man jetzt so lange weiterführen, bis [mm] k_{1} [/mm] = [mm] k_{n}.... [/mm] also, sind die Koeffizienten alles identisch. Um einen Nullvektor zu erhalten, müssen sie also alle = 0 sein. Kann ich das so machen? Oder reicht das nicht aus, zu beweisen, dass die angegebenen Vektoren eine Basis ist?
Zu 1.2. Wie kann ich denn die Gleichung
[mm] e_{1}= k_{1}v_{1} [/mm] +... + [mm] k_{n}v_{n} [/mm] lösen?
Vielen Dank für eine Antwort im Voraus!
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> Z.z: [mm]k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+...k_{n}v_{n}=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow k_{1}=...=k_{n}=[/mm] 0 (linear unabhängig)
>
> [mm]k_{1} \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1}[/mm] + [mm]k_{2} \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1}+...+ k_{n} \vektor{1 \\ 1 \\ ... \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\gdw \vektor{k_{1}0 \\ k_{1}1 \\ k_{1}1 \\ ... \\ k_{1}1} +...+\vektor{k_{n}1 \\ k_{n}1 \\ ... \\ k_{n}1 \\ k_{n}0}=[/mm]
> 0
>
> [mm]\gdw \pmat{ k_{1}0 + k_{2}1 + ... + k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}0 + ... + k_{n}1 \\ ... \\ k_{1}1 + k_{2}1 + ... + k_{n}0}=[/mm]
> 0
>
> [mm]\gdw \pmat{ 0 + k_{2} + k_{3} + ... + k_{n} \\ k_{1} + 0 + ... k_{n} \\ ... \\ k_{1} + k_{2} + ... + 0 }=[/mm]
> 0
>
> 1. Zeile: [mm]k_{n}= -k_{2}[/mm] - [mm]k_{3}[/mm] - ... - [mm]k_{n-1}[/mm] (einsetzen
> in 2. Zeile)
> 2. Zeile: [mm]k_{1}[/mm] + 0 + [mm]k_{3}+...+ -k_{2}[/mm] - [mm]k_{3}[/mm] - ... -
> [mm]k_{n-1}[/mm] = 0
> [mm]\gdw k_{1}[/mm] - [mm]k_{2}[/mm] = 0 [mm]\gdw k_{1}= k_{2}[/mm]
> einsetzen in 3. Zeile
> 3. Zeile: [mm]k_{1}[/mm] + [mm]k_{1}+[/mm] 0+ ... [mm]-k_{2}- k_{3}[/mm] - ...
> [mm]k_{n-1}[/mm] =0
> [mm]\gdw k_{1}[/mm] - [mm]k_{3}[/mm] = 0 [mm]\gdw k_{1}= k_{3}[/mm]
>
> dies kann man jetzt so lange weiterführen, bis [mm]k_{1}[/mm] =
> [mm]k_{n}....[/mm] also, sind die Koeffizienten alles identisch. Um
> einen Nullvektor zu erhalten, müssen sie also alle = 0
> sein. Kann ich das so machen?
Ja.
Oder reicht das nicht aus, zu
> beweisen, dass die angegebenen Vektoren eine Basis ist?
Du hast dann die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
Wenn Ihr schon gelernt habt, daß jede Basis der [mm] \IR^n [/mm] aus n vektoren besteht, bist Du mit einem Hinweis darauf fertig. n linear unabhängige vektoren ==> Basis des [mm] \IR^n, [/mm] denn [mm] \IR^n [/mm] ist n-dimensional.
Falls Ihr es wider Erwarten noch nicht hattet, mußt Du zeigen, daß Deine Vektoren ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^n [/mm] sind. (Aber ich glaube,Ihr hattet es schon...)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 20.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Angela,
habe doch noch eine Idee zu 1.2.
Habe das Gleichungssystem [mm] e_{1}= k_{1}v_{1}+... k_{n}v_{n} [/mm] wieder in folgender Form zusammengefasst:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ k_{1}0 + k_{2}1 + ... + k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}0 + ... k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}1 + k_{3}0 + ... + k_{n}1 \\ ... \\ k_{1}1 + k_{2}1+ k_{3}1 + ... + k_{n}0}
[/mm]
Ich erhalte also in zeilenformen:
1. Zeile: 1= 0 + [mm] k_{2} [/mm] + ... + [mm] k_{n} \gdw [/mm] 1- [mm] k_{2} [/mm] - ... - [mm] k_{n-1}= k_{n} [/mm] einsetzen in die zweite Zeile
2. Zeile: [mm] k_{1} [/mm] + 0 + [mm] k_{3} [/mm] +... + 1 - [mm] k_{2} [/mm] - ... - [mm] k_{n-1} [/mm] = 0
[mm] \gdw k_{1} [/mm] + 1 - [mm] k_{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw k_{1} [/mm] + 1 = [mm] k_{2} [/mm] einsetzen in die 3. Zeile
3. Zeile: [mm] k_{1} [/mm] + [mm] (k_{1} [/mm] +1)+ 0 + ... + [mm] 1-(k_{1} [/mm] +1)- [mm] k_{3}-...- k_{n-1}= [/mm] 0
[mm] \gdw k_{1} [/mm] + 1 - [mm] k_{3} [/mm] = 0 [mm] \gdw k_{1} [/mm] + 1 = [mm] k_{3} [/mm] in vierte Zeile u.s.w
[mm] \Rightarrow k_{1} [/mm] + 1 = [mm] k_{2}
[/mm]
= [mm] k_{3}
[/mm]
= [mm] k_{4}
[/mm]
...
= [mm] k_{n}
[/mm]
Und jetzt? Was mache ich nun? Stimmt das so? was ist denn hier jetzt die linearkombination? das würde doch gar nicht aufgehen,oder?
Danke im Voraus
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> Hallo Angela,
>
> habe doch noch eine Idee zu 1.2.
> Habe das Gleichungssystem [mm]e_{1}= k_{1}v_{1}+... k_{n}v_{n}[/mm]
> wieder in folgender Form zusammengefasst:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ k_{1}0 + k_{2}1 + ... + k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}0 + ... k_{n}1 \\ k_{1}1 + k_{2}1 + k_{3}0 + ... + k_{n}1 \\ ... \\ k_{1}1 + k_{2}1+ k_{3}1 + ... + k_{n}0}[/mm]
Genau,das ist die Gleichung, die zu lösen wäre.
Ich plädiere in diesem Zusammenhang für "Realmathematik":
Lös doch das Gleichungssystem für n=4,n=5, n=3. Wenn Du das getan hast, wird Dir ein Verdacht gekeimt sein, wie Deine [mm] k_i [/mm] im Falle n beschaffen sein müssen.
Und dann zeigst Du, daß, wenn Du diese [mm] k_i [/mm] nimmst, der erste Einheitsvektor herauskommt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 20.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hey Angela,
danke für deine Antwort. Ich habe das Gleichungssystem für n=5, n=4 und n=3 mal ausprobiert...
erhalte für n= 3
die Werte [mm] k_{1}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] k_{2}= k_{3}= \bruch{1}{2}
[/mm]
erhalte für n=4
die Werte [mm] k_{1}= \bruch{-2}{3}, k_{2}= k_{3}= \bruch{1}{3}
[/mm]
erhalte für n=5
die Werte [mm] k_{1}= \bruch{-3}{4} [/mm] und
für [mm] k_{2}=k_{3}=k_{4}=k_{5}= \bruch{1}{4}
[/mm]
Es lässt sich folgendes festhalten:
[mm] k_{2}=k_{3}= [/mm] ... = [mm] k_{n}
[/mm]
[mm] k_{1} [/mm] hat im Gegensatz zu den übrigen k's immer ein negatives Vorzeichen.
Der Nenner ist immer genau eins weniger als das angegebene n. also
[mm] \bruch{?}{n-1}. [/mm]
Für [mm] k_{1} [/mm] ergibt sich der allgemeine Bruch - [mm] \bruch{(n-1)-1}{n-1}
[/mm]
Für die übrigen k's ergibt sich der Bruch [mm] \bruch{n-(n-1)}{n-1} \gdw \bruch{1}{n-1}
[/mm]
Stimmt das? Habe ich damit die Aufgabe gelöst?
Vielen Dank nochmal für den "Real-Mathe-Tipp";),
liebe Grüße
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> Es lässt sich
> folgendes festhalten:
> [mm]k_{2}=k_{3}=[/mm] ... = [mm]k_{n}[/mm]
> Für [mm]k_{1}[/mm] ergibt sich der allgemeine Bruch -
> [mm]\bruch{(n-1)-1}{n-1}[/mm]
= - [mm] \bruch{n-2}{n-1}
[/mm]
> Für die übrigen k's ergibt sich der Bruch
> [mm]\bruch{n-(n-1)}{n-1} \gdw \bruch{1}{n-1}[/mm]
>
> Stimmt das? Habe ich damit die Aufgabe gelöst?
Kommt drauf an, was Du bisher zu Papier gebracht hast...
Du mußt jetzt noch vorrechnen, daß Deine [mm] k_i [/mm] es tun.
Das ist ja nicht schwer.
In der 1.Zeile hast Du ...=0+ (n-1) [mm] \bruch{1}{n-1}
[/mm]
in den folgenden Zeilen ...=- [mm] \bruch{n-2}{n-1} [/mm] + (n-2) [mm] \bruch{1}{n-1}=0
[/mm]
Dann bist Du fertig.
Gruß v. Angela
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