Vektoren mit Parameter < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Wie muss die reelle Zah a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm] \pmat{ a \\ -3 \\ 5 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 \\ -a \\ 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 \\ -2 \\ 2a } [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Also mir ist bekannt, dass dieses Gleichungssystem auf eine Nulllösung kommen muss, wenn die Vektoren linesr unabhängig sein sollen und ich wüsste auch wie ich das berechne, ich habe es jetzt allerdings mit diesem System versucht und es kommt nichts gescheites dabei raus.
Jetzt wäre meine erste Frage, ob es ausreichen würde, nur ein 2er-System darzustellen und das dann zu berechnen und dann was für a rauskommt als die gesuchte Zahl anzusehen - wenn das geht?!
Und wenn es so nciht funktionieren sollte, dann bräuchte ich eventuell jemanden, der mir das mit dem Auflösen der Matrix bei diesem System zeigt/erklärt oder ich bräuchte eine andere Art und Weise a zu berechenen.
Ich bin euch jetzt schonmal sehr dankbar!!! 
GLG Amy
|
|
| |
|
> Wie muss die reelle Zah a gewählt werden, damit die
> Vektoren linear abhängig sind?
>
> [mm]\pmat{ a \\ -3 \\ 5 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 \\ -a \\ 2 }[/mm]
> [mm]\pmat{ -2 \\ -2 \\ 2a }[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben!
>
> Also mir ist bekannt, dass dieses Gleichungssystem auf eine
> Nulllösung kommen muss, wenn die Vektoren linesr unabhängig
> sein sollen und ich wüsste auch wie ich das berechne, ich
> habe es jetzt allerdings mit diesem System versucht und es
> kommt nichts gescheites dabei raus.
>
> Jetzt wäre meine erste Frage, ob es ausreichen würde, nur
> ein 2er-System darzustellen und das dann zu berechnen und
> dann was für a rauskommt als die gesuchte Zahl anzusehen -
> wenn das geht?!
Hallo,
nein, es mit nur zwei Vektoren zu machen, das reicht nicht.
Am schnellsten bekommst Du die Lösung, wenn Du die Vektoren als Spalten in eine Matrix steckst, das System auf Zeilenstufenform bringst, und nachgückst, für welche a der Rang [mm] \not=3 [/mm] ist.
Nur ich fürchte so geht's nicht, Du gehst in die Schule, oder?
Da würde ich dann aus [mm] \lambda[/mm] [mm]\pmat{ a \\ -3 \\ 5 }[/mm][mm] +\mu\pmat{ 1 \\ -a \\ 2 }[/mm]+[/mm] [mm] \nu\pmat{ -2 \\ -2 \\ 2a }[/mm]=0
ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den Unbekannten [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] machen und lösen. Die a, für welche [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] alle =0 sind, sind die, für die die drei Vektoren UNabhängig sind. Für alle anderen a sind abhängig.
Vermutlich weißt Du das aber und Dich bewegt etwas anderes: was tun mit dem a? Du behandelst das a beim Rechnen so, als wäre es eine ganz normale Zahl. So, als stünde da statt a z.B. "5".
In einer Stiaution mußt Du aufpassen, beim Dividieren. Du mußt sicherstellen, daß Du nie durch 0 dividierst. Wenn Du durch a teiltst, schreib dazu "für a/not=0". Den Fall a=0 untersuchst Du dann später gesondert. Oder beim Dividieren durch a+3 mußt Du schreiben "für [mm] a\not=3" [/mm] und dem Fall a=3 später untersuchen.
Da ich Dir die Aufgabe ungern vorrechnen möchte, schlage ich Dir vor, es erneut zu versuchen unter Beachtung meiner Anleitung.
Falls Du nicht zum Ziel kommst, stell bitte Deinen Rechenweg hier vor, so weiß man besser, an welcher Stelle man helfen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo Angela!
Also erstmal vielen Dank für die Hinweise - einiges war mir bekannt und anderes ganz hilfreich...
Ich habe es versucht zu berechnen und a auch wie eine Zahl zu behnadeln versucht, was mich allerdings sehr irritiert ist...also...zum Beispiel hier:
Ich habe mit Gauß versucht zu lösen:
[mm] \pmat{ a\quad 1 \quad -2\quad 0 \\ -3\quad -a\quad -2\quad 0 \\ 5 \quad 2\quad 2a }
[/mm]
Was ich jetzt machen würde wäre Die erste Zeile mal 3 und die zweite mal a zu nehmen und dann zu addieren - richtigs so?
Allerdings irritieren mich dann hier schon die Ergebnisse:
[mm] \pmat{ a \quad 1 \quad -2 \quad 0 \\ 0 \quad 3-a^2 \quad -6+2a \quad 0 \\ 5 \quad 2 \quad 2a \quad 0 }
[/mm]
Also stimmt das denn so mit dem [mm] 3-a^2 [/mm] und so? Denn in der nächsten Matrik sähe das dann entsprechend komplizierter aus...
GLG Amy
|
|
|
| |
|
Hallo Amy1988!
> Hallo Angela!
>
> Also erstmal vielen Dank für die Hinweise - einiges war mir
> bekannt und anderes ganz hilfreich...
>
> Ich habe es versucht zu berechnen und a auch wie eine Zahl
> zu behnadeln versucht, was mich allerdings sehr irritiert
> ist...also...zum Beispiel hier:
> Ich habe mit Gauß versucht zu lösen:
>
> [mm]\pmat{ a\quad 1 \quad -2\quad 0 \\ -3\quad -a\quad -2\quad 0 \\ 5 \quad 2\quad 2a }[/mm]
>
> Was ich jetzt machen würde wäre Die erste Zeile mal 3 und
> die zweite mal a zu nehmen und dann zu addieren - richtigs
> so?
> Allerdings irritieren mich dann hier schon die
> Ergebnisse:
>
> [mm]\pmat{ a \quad 1 \quad -2 \quad 0 \\ 0 \quad 3-a^2 \quad -6+2a \quad 0 \\ 5 \quad 2 \quad 2a \quad 0 }[/mm]
>
> Also stimmt das denn so mit dem [mm]3-a^2[/mm] und so? Denn in der
> nächsten Matrik sähe das dann entsprechend komplizierter
> aus...
Ja, das sieht schon etwas kompliziert aus, und man kann sich leicht verrechnen. Hier müsste es wohl auch -6-2a heißen, rechne das doch nochmal kurz nach. Ansonsten konnte ich keinen Fehler finden.
Aber mach' es doch zur Kontrolle nachher auch nochmal mit dem LGS, wie Angela auch vorgeschlagen hat. Wenn du beide Male dasselbe rausbekommst, ist's richtig. 
Aber du kannst deine weiteren Schritte natürlich auch hier posten.
Allerdings wird es wesentlich übersichtlicher, wenn du die Matrizen richtig schreibst, also kein \ quad zwischen die einzelnen Zahlen, sondern, wie es auch in den Eingabehilfen steht, ein "&".
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Do 08.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich möchte hier mal eine Alternativlösung anbieten:
Das Gleichungssystem, welches oben schon angesprochen wurde, soll ja unendlich viele Lösungen haben, damit die drei Vektoren llinear abhängig sind.
Also stellt man sich die Frage:
Wann kommt man mit Hilfe der Gleichung, die schon weiter oben steht, auf den Nullvektor?
Wenn es nur dadurch geht, dass die drei Parameter Null sind, dann sind die drei Vektoren linear UNabhänig.
Gibt es aber noch mehrere Lösungen, sprich unendlich viele, so sind die drei Vektoren linear abhängig.
Diese Überlegung kann man nun mit Hilfe folgender Rechnung mathematisch lösen:
Man stelle die Matrix auf:
[mm] \pmat{ a & 1 &-2\\ -3 & -a & -2 \\ 5 &2&2a}
[/mm]
Wenn die Determinante dieser Matrix 0 ist, so beistzt das LGS unendlich viele Lösungen, die Vektoren sind dann also linear abhängig.
Ist die Determinante der Matrix ungleich Null, so sind die Vektoren linear UNabhängig.
Also berechne man [mm] \vmat{ a & 1 &-2\\ -3 & -a & -2 \\ 5 &2&2a}
[/mm]
und stelle dann die Bedingung auf, dass die Determinante Null sein soll.
Dann lässt sich relativ leicht berechnen, für welchen/welche Wert/e von a die Bedingung gilt.
Sláin,
Kroni
|
|
|
|
