Vektoren einer Dualbasis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
ein Dualraum eines Vektorraums V über einem Körper K ist ja der Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach K. Zu dem Dualraum gibt's natürlich eine Dualbasis. Auf dieser Seite habe ich herrausgefunden, wie man die Dualbasis eines Dualraums ausrechnet: http://www.rokip.net/index.php?option=com_content&view=article&id=123:die-duale-basis-eines-dualraumes-ausrechnen&catid=50:lineare-algebra&Itemid=54
Was ich mich jetzt frage ist, wieso die Basisvektoren der Dualbasis "ganz gewöhnliche" Vektoren sind. Man kann doch jedes Element eines Vektorraums durch seine Basisvektoren darstellen, aber im Dualraum sind die Elemente doch Abbildungen. Wie kann man solche Abbildungen denn durch Vektoren linear kombinieren? Oder verstehe ich hier etwas grundlegend falsch?
Viele Grüße
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moin,
> Hallo,
> ein Dualraum eines Vektorraums V über einem Körper K ist
> ja der Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach K.
> Zu dem Dualraum gibt's natürlich eine Dualbasis. Auf
> dieser Seite habe ich herrausgefunden, wie man die
> Dualbasis eines Dualraums ausrechnet:
> http://www.rokip.net/index.php?option=com_content&view=article&id=123:die-duale-basis-eines-dualraumes-ausrechnen&catid=50:lineare-algebra&Itemid=54
> Was ich mich jetzt frage ist, wieso die Basisvektoren der
> Dualbasis "ganz gewöhnliche" Vektoren sind.
Vektoren sind hier Elemente eines Vektorraums.
Also "Vektor" steht hier nicht etwa für einen Spaltenvektor wie man sie vielleicht aus der Schule kennt sondern einfach für ein Element eines Vektorraums.
Da der Vektorraum (der Dualraum) hier aus Abbildungen besteht sind also auch die darin enthaltenen Vektoren Abbidungen.
> Man kann doch
> jedes Element eines Vektorraums durch seine Basisvektoren
> darstellen, aber im Dualraum sind die Elemente doch
> Abbildungen. Wie kann man solche Abbildungen denn durch
> Vektoren linear kombinieren? Oder verstehe ich hier etwas
> grundlegend falsch?
Du kannst auch Abbildungen addieren und mit einem skalaren Vielfachen multiplizieren, indem du dies eintragsweise machst.
Also $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ für alle $x$.
Um zu verstehen wieso sich die duale Basis so bestimmen lässt, ist eine Tatsache besonders wichtig:
Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt.
Kennst du diese Aussage?
Wenn du dies auf das Beispiel aus dem Link anwendest heißt das also:
Ist [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR$ [/mm] linear, so reicht es [mm] $\varphi(v_1)$, $\varphi(v_2)$ [/mm] und [mm] $\varphi(v_3)$ [/mm] zu kennen, um die ganze Abbildung zu kennen.
Der Grund dafür ist folgender:
Sei $v [mm] \in \IR^3$. [/mm] Dann gibt es [mm] $a_1,a_2,a_3 \in \IR$, [/mm] sodass $v = [mm] a_1v_1 [/mm] + [mm] a_2v_2 [/mm] + [mm] a_3v_3$.
[/mm]
Aufgrund der Linearität von [mm] $\varphi$ [/mm] erhalten wir dann:
[mm] $\varphi(v) [/mm] = [mm] \varphi(a_1v_1 [/mm] + [mm] a_2v_2 [/mm] + [mm] a_3v_3) [/mm] = [mm] a_1\varphi(v_1) [/mm] + [mm] a_2\varphi(v_2) [/mm] + [mm] a_3\varphi(v_3)$.
[/mm]
Daher reicht es also die Bilder der Basis zu kennen, um [mm] $\varphi$ [/mm] vollständig zu kennen.
Ist nun im nächsten Schritt $f : [mm] \IR^3 \to \IR$ [/mm] eine beliebige lineare Abbildung, so müssen wir also nur wissen, was $f$ mit den [mm] $v_i$ [/mm] macht.
Sei also [mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] x_1$, $f(v_2) [/mm] = [mm] x_2$, $f(v_3) [/mm] = [mm] x_3$ [/mm] für passende [mm] $x_i \in \IR$.
[/mm]
Dann ist $f = [mm] x_1v_1^{\*} [/mm] + [mm] x_2v_2^{\*} [/mm] + [mm] x_3v_3^{\*}$.
[/mm]
Damit sind die drei [mm] $v_i^{\*}$ [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] $V^{\*}$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch zeigen (oder bereits wissen), dass sie linear unabhängig sind und du hast wie gewünscht die Basis.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 So 26.08.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Danke für die ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen :)
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