Vektoren Teilmenge Basis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Vektoren a1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\1 \\0}, [/mm] a2= [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 7\\0}, [/mm] a3= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\0 \\2}, [/mm] a4= [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\8 \\2}
[/mm]
bilden ein Erzeugendensytem eines Unterraumes U des [mm] R^4.
[/mm]
a) Welche Dimension hat U?
b) Bestimmen Sie eine Teilmenge der gegebenen VVektoren, die eine Basis von U ist. |
Moin,
für a) bekomme ich nach umformung folgende matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & -1 & -3\\ 0 & 1 &0 & 1\\ 0& 0& 1&1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
gut. also dim (A)=3.
Aber wie kann ich nun am einfachsten eine Teilmenge / Basis bestimmen??
gruß & danke
wolfgang
|
|
| |
|
> Die Vektoren a1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\1 \\0},[/mm] a2= [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ 7\\0},[/mm]
> a3= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\0 \\2},[/mm] a4= [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\8 \\2}[/mm]
>
> bilden ein Erzeugendensytem eines Unterraumes U des [mm]R^4.[/mm]
>
> a) Welche Dimension hat U?
> b) Bestimmen Sie eine Teilmenge der gegebenen VVektoren,
> die eine Basis von U ist.
> Moin,
>
>
>
> für a) bekomme ich nach umformung folgende matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & -1 & -3\\ 0 & 1 &0 & 1\\ 0& 0& 1&1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> gut. also dim (A)=3.
>
> Aber wie kann ich nun am einfachsten eine Teilmenge / Basis
> bestimmen??
>
> gruß & danke
> wolfgang
>
>
>
>
>
Hallo,
Da du ja weißt, dass die Dimension des Raumes, den [mm] \{a_1,a_2,a_3,a_4\} [/mm] aufspannen, 3 ist.
Wähle einfach aus den [mm] a_i [/mm] 3 linear unabhängige Vektoren aus.
Die bilden dann ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis des gesuchten Raumes.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin schachuzipus,
schach habe ich auch mal gespielt (bis 2. bl); das am rande.
ok, d.h. also, weil ich im [mm] R^3 [/mm] bin, kann ich drei beliebige vektoren nehmen, als basis, da dim(A)=3 ist.
richtig? also keine lange rumprobiererei.
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
> moin schachuzipus,
>
> schach habe ich auch mal gespielt (bis 2. bl); das am
> rande.
>
> ok, d.h. also, weil ich im [mm]R^3[/mm] bin, kann ich drei beliebige
> vektoren nehmen, als basis, da dim(A)=3 ist.
>
> richtig? also keine lange rumprobiererei.
>
> gruß
> wolfgang
2. BL? Nicht schlecht. So hoch spiele ich lange nicht, hab nur knapp 2000 DZW ;)
Aber zu deiner Frage:
Deine Spannvektoren [mm] a_i [/mm] haben doch 4 Komponenten, also ist dein Unterraum eine Teilmenge des [mm] \IR^4 [/mm] !! mit Dimension 3
Deine Basis sind also 3 Vektoren aus dem [mm] \IR^4
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mo 29.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin moin,
jetzt muss ich doch noch einmal nachfragen. heisst das, ich kann aus den gegebenen vektoren {a1,a2,a3,a4}
drei beliebige vektoren auswählen, die dann automatisch linear unabhängig sind (wg der voraussetzung, das dim(A)=3 ist),
oder muss ich "wild" rumprobieren?
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
> jetzt muss ich doch noch einmal nachfragen. heisst das, ich
> kann aus den gegebenen vektoren {a1,a2,a3,a4}
>
> drei beliebige vektoren auswählen, die dann automatisch
> linear unabhängig sind (wg der voraussetzung, das dim(A)=3
> ist),
> oder muss ich "wild" rumprobieren?
Hallo,
weder - noch.
3 beliebige kannst Du nicht auswählen. Auf einmal erwischt Du drei, die abhängig sind.
"Wild" probieren solltest Du auch nicht, Du könntest kopflos werden.
Geh' es systematisch an:
Nimm [mm] a_1 [/mm] in Deine Basis.
Jetzt guck, ob [mm] a_2 [/mm] von diesem unabhängig ist. Wenn ja: rein in die Basis, wenn nein: [mm] a_2 [/mm] muß draußen bleiben. (Da Du ja schon ausgerechnet hattest, daß die dim =3, bleibt den beiden anderen nun nichts mehr übrig, als mit [mm] a_1 [/mm] eine Basis zu bilden.)
Wenn [mm] a_1,a_2 [/mm] Deine Basiselemente sind, prüfst du als nächstes [mm] a_3.
[/mm]
Unabhängig? Rein! Basis fertig.
Abhängig? [mm] a_4 [/mm] rein, Basis fertig.
Zu wild? Nee, oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mo 29.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
vielen dank angela, das (der Weg) sieht jetzt sehr übersichtlich aus.
danke auch an die anderen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 29.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallöchen,
ich dachte, ich mach das jetzt einfach und fertig. aber jetzt sind alle vektoren linear abhängig!????
also, ich prüfe a1 und a2, d.h
[mm] r*\vec{a1} [/mm] + [mm] s*\vec{a2}=\vec{0} [/mm] , falls nur lösbar mit r=0 und s=0
dann linear unabhängig.
a1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ 0}
[/mm]
a2= [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 7\\ 0}
[/mm]
GLS: [mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 0&3 \\ 1 & 7 \\ 0& 0} [/mm]
hier stock ich schon; denn wenn eine zeile nur nullen entält heisst das doch, dass das GLS linear abhängige vektoren enthält.
[mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 0&3 \\ 0 & 10 \\ 0& 0} [/mm]
nun könnte ich noch eine zweite zeile "ausnullen".
ok, mach ich weiter:
a1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1\\ 0}
[/mm]
a3= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 2}
[/mm]
GLS: [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0&0 \\ 1 & 0 \\ 0& 2} [/mm]
und wieder ist (von vornherein) eine zeile 0 0 ...
und nach umformung dasselbe wie oben
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0&0 \\ 0 & 1 \\ 0& 2} [/mm]
auch hier könnte ich wieder eine zweite zeile "ausnullen"
ok, also nehme ich mal a2 und a3
GLS: [mm] \pmat{ -3 & -1 \\ 3&0 \\ 7 & 0 \\ 0& 2} [/mm]
[mm] \pmat{ -3 & -1 \\ 0&-1 \\ 7 & 0 \\ 0& 2} [/mm]
[mm] \pmat{ -3 & -1 \\ 0&-1 \\ 0 & -7 \\ 0& 2} [/mm]
aber auch hier kann ich im rahmen weiterer umformungen zwei zeilen ausnullen...
fragezeichen???
danke & gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
Hallo und ruhig Blut ;)
Nehmen wir deinen ersten Fall [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2.
[/mm]
Da hast du richtig die Linearkombinatin [mm] ra_1+sa_2=0 [/mm] angesetzt.
Ich schreib das mal als "erweiterte" Matrix auf:
[mm] \pmat{ 1 & -3 &| & 0 \\ 0&3 & |&0 \\ 1 & 7 & |&0\\ 0& 0 & |&0}
[/mm]
Das ist deine Gleichung [mm] r*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\pmat{ -3 \\ 3 \\ 7 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
So zurück zu [mm] \pmat{ 1 & -3 &| & 0 \\ 0&3 & |&0 \\ 1 & 7 & |&0\\ 0& 0 & |&0}
[/mm]
Hier steht in der letzten Zeile 0=0, also eine wahre Aussage und kein Grund zur Beunruhigung ;)
In der 2ten Zeile steht 0*r+3*s=0, also s=0
Das in die erste Zeile (oder in die 3te Zeile) eingesetzt ergibt:
1*r+(- 3)*s=0, also 1*r+(-3)*0=0, also 1*r=0, also r=0
(machs mal mit der 3ten Zeile)
Wenn du also die Linearkombination [mm] r*a_1+s*a_2=0 [/mm] ansetzt, lässt die sich offenbar nur durch r=s=0 lösen, [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind also linear unabhängig.
Da haben wir schonmal 2 gefunden. Nimm nun einen dritten [mm] (a_3 [/mm] oder [mm] a_4) [/mm] hinzu und setzt die Linearkombination [mm] r*a_1+s*a_2+t*a_3=0 [/mm] an und überprüfe, ob dann auch r=s=t=0 als Lösung rauskommt. Falls nicht, probiere [mm] r*a_1+s*a_2+t*a_4=0
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
