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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Es seien [mm] v1:=\vektor{1 \\ 0\\1}, v2:=\vektor{1 \\ 0\\-1} [/mm] und [mm] v3:=\vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] sowie [mm] A:=2*\bruch{v1*v1^T}{v1^Tv1} [/mm] - [mm] 3*\bruch{v2v2^T}{v2^Tv2}.
[/mm]
Bewerten Sie zu diesen Vorgaben die folgenden Aussagen:
- Es gibt ein von Null verschiedenes x [mm] \in \IR^3 [/mm] mit [mm] ||Ax||_2 [/mm] = [mm] 2||x||_2
[/mm]
- {x|Ax = 0} = span {v3} |
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Guten Tag!
Zu dieser Aufgabenstellung kann ich nur sagen, dass die Brüche bei A jeweils Projektionen auf die Richtungen von v1 und v2 sind. Bei der ersten Aussage sieht mir die Gleichung nach der Eigenwert-Eigenvektor-Gleichung aus.
Bei der zweiten Aussage ist span{v3} doch gleich [mm] \bruch{v3*v3^T}{v3^Tv3}?!
[/mm]
Ich brauche dringend Denkanstöße!
Vielen Dank im Voraus!
Lieben Gruß, Dom.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:21 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Dom,
> Es seien [mm]v1:=\vektor{1 \\ 0\\1}, v2:=\vektor{1 \\ 0\\-1}[/mm]
> und [mm]v3:=\vektor{0 \\ 1\\0}[/mm] sowie
> [mm]A:=2*\bruch{v1*v1^T}{v1^Tv1}[/mm] - [mm]3*\bruch{v2v2^T}{v2^Tv2}.[/mm]
>
> Bewerten Sie zu diesen Vorgaben die folgenden Aussagen:
>
> - Es gibt ein von Null verschiedenes x [mm]\in \IR^3[/mm] mit
> [mm]||Ax||_2[/mm] = [mm]2||x||_2[/mm]
>
> - {x|Ax = 0} = span {v3}
warum rechnest du die Matrix nicht einfach mal aus und schreibst sie hin?
Du siehst dann sofort, dass
a) sie Rang 2 hat,
b) [mm] $v_3$ [/mm] im Kern liegt,
c) der Vektor [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 }$ [/mm] auf [mm] $\vektor{ 2 \\ 0 \\ 2 }$ [/mm] abgebildet wird.
Aus c) folgt die erste Aussage, und aus a) und b) folgt die zweite Aussage.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 03.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Mit [mm] \pmat{ -0,5 & 0 &2.5\\ 0 &0&0\\2.5&0&-0.5 } [/mm] wird das dann auch deutlicher.
Danke!
Lieben Gruß!
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