Vektoren, Geradenschar < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:37 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Gerade g und eine Geradenschar [mm] h_{t}.
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\-1}+ r\vektor{-1 \\ 2\\1}
[/mm]
[mm] h_{t}:\vec{x}=\vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass jede Gerade der Geradenschar [mm] h_{t} [/mm] die Gerade g in einem Punkt schneidet.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.
b) Welche Geraden der Geradenschar [mm] h_{t} [/mm] schneidet die Gerade g im Punkt S(-13|31|14)? |
a) Man muss hier g mit h gleichsetzen:
[mm] \vektor{2 \\ 1\\-1}+ r\vektor{-1 \\ 2\\1}=\vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}
[/mm]
Und dann die 3 Gleichungen herausschreiben und umformen:
I):
2-r=1-t+s
1=r-t+s
II):
1+2r=3-2t-2s
-2=-2r-2t-2s
-1=r-t-s
III):
-1+r=1+t+2s
-2=-r+t+2s
Ich habe dann alles nach r,s und t aufgelöst, um Zahlenwerte zu erhalten und damit den Schnittpunkt berechnet, aber das ich irgendwie falsch, denn ich habe ja nicht alle Geraden der Schar berücksichtigt.
b)
Ich habe den Punkt als Vektor aufgeschrieben und die Geradenschar mit diesem Vektor gleichgesetzt:
[mm] \vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}=\vektor{-13 \\ 31\\14}
[/mm]
Und dann habe ich t und s berechnet.
t=15
s=1
Die gesuchte Gerade lautet nun:
[mm] \vec{x}=\vektor{-14 \\33\\16}+s\vektor{1\\-2\\-2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Danke! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 So 30.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind eine Gerade g und eine Geradenschar [mm]h_{t}.[/mm]
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\-1}+ r\vektor{-1 \\ 2\\1}[/mm]
>
> [mm]h_{t}:\vec{x}=\vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass jede Gerade der Geradenschar [mm]h_{t}[/mm] die
> Gerade g in einem Punkt schneidet.
> Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.
>
> b) Welche Geraden der Geradenschar [mm]h_{t}[/mm] schneidet die
> Gerade g im Punkt S(-13|-31|14)?
> a) Man muss hier g mit h gleichsetzen:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1\\-1}+ r\vektor{-1 \\ 2\\1}=\vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}[/mm]
>
> Und dann die 3 Gleichungen herausschreiben und umformen:
>
> I):
> 2-r=1-t+s
> 1=r-t+s
>
> II):
> 1+2r=3-2t-2s
Das ist falsch. Richtig: 1+2r=3+2t-2s
> -2=-2r-2t-2s
> -1=r-t-s
>
> III):
> -1+r=1+t+2s
> -2=-r+t+2s
>
> Ich habe dann alles nach r,s und t aufgelöst, um
> Zahlenwerte zu erhalten und damit den Schnittpunkt
> berechnet, aber das ich irgendwie falsch, denn ich habe ja
> nicht alle Geraden der Schar berücksichtigt.
>
> b)
> Ich habe den Punkt als Vektor aufgeschrieben und die
> Geradenschar mit diesem Vektor gleichgesetzt:
>
> [mm]\vektor{1-t \\ 3+2t\\1+t}+s\vektor{1\\-2\\-2}=\vektor{-13 \\ 31\\14}[/mm]
Auch hier hast Du einen Vorzeichenfehler:
nicht [mm] =\vektor{-13 \\ 31\\14}, [/mm] sondern
[mm] =\vektor{-13 \\ -31\\14}
[/mm]
FRED
>
> Und dann habe ich t und s berechnet.
>
> t=15
> s=1
>
> Die gesuchte Gerade lautet nun:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{-14 \\33\\16}+s\vektor{1\\-2\\-2}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Danke! :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Zu a)
Oh stimmt. Da muss ja ein "+" hin.
Aber was muss ich denn jetzt machen, um die Aufgabe zu beenden?
b)
Ups, da habe ich wieder einen Fehler gemacht und zwar in den Aufgabenstellung. Habe die falsch abgeschrieben. Der Punkt lautet nämlich S(-13|31|14). So sollte alles stimmen. (Habe es oben nochmal korrigiert).
Aber ist die Aufgabe außer der Vorzeichensache richtig?
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Hallo Matritze,
> Zu a)
> Oh stimmt. Da muss ja ein "+" hin.
Nun, bei Gleichung III hat sich ebenfalls ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]r-1=1+t\blue{-}2s[/mm]
> Aber was muss ich denn jetzt machen, um die Aufgabe zu
> beenden?
>
Eliminiere aus 2 Gleichungen r,s und setze sie in die 3. Gleichung ein.
> b)
> Ups, da habe ich wieder einen Fehler gemacht und zwar in
> den Aufgabenstellung. Habe die falsch abgeschrieben. Der
> Punkt lautet nämlich S(-13|31|14). So sollte alles
> stimmen. (Habe es oben nochmal korrigiert).
>
Ja, so stimmt die Gerade.
> Aber ist die Aufgabe außer der Vorzeichensache richtig?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Okay, danke.
Ich habe nun die 1.Gleichung nach s aufgelöst und folgendes bekommen:
s=1-r+t
Wenn ich das nun in die 2.Gleichung einsetze, dann bekomme ich 1=1. Ich kann das nicht nach r auflösen. Mache ich irgendwo einen Fehler?
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Hallo Matritze,
> Okay, danke.
>
> Ich habe nun die 1.Gleichung nach s aufgelöst und
> folgendes bekommen:
> s=1-r+t
>
> Wenn ich das nun in die 2.Gleichung einsetze, dann bekomme
> ich 1=1. Ich kann das nicht nach r auflösen. Mache ich
> irgendwo einen Fehler?
>
Nein, Fehler hast Du keinen gemacht.
Setze s=1-r+t in die 3. Gleichung ein und löse nach r auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Einsetzen von s in die 3.Gleichung ergibt:
r=t
Dann habe ich r=t in die Ausgangsgleichung eingesetzt und folgenden Schnittpunkt erhalten:
S(2-t|1+2t|-1+t)
Das müsste die Lösung sein. Hier noch zwei Fragen:
-Man müsste doch dasselbe herausbekommen, wenn ich am Anfang nach r statt nach s aufgelöst habe, richtig?
-Woher weiß man, dass man alles in Abhängigkeit von "t" machen muss und nicht von r oder s?
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Hallo Matritze,
> Einsetzen von s in die 3.Gleichung ergibt:
> r=t
>
> Dann habe ich r=t in die Ausgangsgleichung eingesetzt und
> folgenden Schnittpunkt erhalten:
>
> S(2-t|1+2t|-1+t)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das müsste die Lösung sein. Hier noch zwei Fragen:
>
> -Man müsste doch dasselbe herausbekommen, wenn ich am
> Anfang nach r statt nach s aufgelöst habe, richtig?
Richtig.
> -Woher weiß man, dass man alles in Abhängigkeit von "t"
> machen muss und nicht von r oder s?
>
Weil t der Parameter der Geradenschar ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
Danke für die Hilfe! :)
Weil t der Parameter der Geradenschar ist.
Sorry für die Frage, aber was ich ein Parameter und woran erkennt man diesen?
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Hallo, ein Parameter ist frei wählbar, für jedes t bekommst du eine andere Gerade deiner Geradenschar [mm] h_t, [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
> Hallo, ein Parameter ist frei wählbar, für jedes t bekommst du eine andere Gerade deiner Geradenschar [mm]h_t,[/mm]
> Steffi
das würde aber doch auch für s zutreffen,oder? Bei unterschiedlichen Werten für s erhält man doch auch unterschiedliche Geraden.
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Hallo Matritze,
> Hallo,
>
> > Hallo, ein Parameter ist frei wählbar, für jedes t
> bekommst du eine andere Gerade deiner Geradenschar [mm]h_t,[/mm]
> > Steffi
>
> das würde aber doch auch für s zutreffen,oder? Bei
> unterschiedlichen Werten für s erhält man doch auch
> unterschiedliche Geraden.
Ja, s ist kein Parameter der Geradenschar.
Den Parameter einer Geradenschar erkennst Du daran,
daß er tiefergestellt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
> Ja, s ist kein Parameter der Geradenschar.
>
> Den Parameter einer Geradenschar erkennst Du daran,
> daß er tiefergestellt ist.
Was heißt denn tiefergestellt? Sorry, aber ich kenne die ganzen Begrifflichkeiten nicht.
Dankeschön! :)
Gruß,
Matritze
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Hallo Matritze,
> Hallo,
>
> > Ja, s ist kein Parameter der Geradenschar.
> >
> > Den Parameter einer Geradenschar erkennst Du daran,
> > daß er tiefergestellt ist.
>
> Was heißt denn tiefergestellt? Sorry, aber ich kenne die
> ganzen Begrifflichkeiten nicht.
>
Wenn Du so willst, ist das der Index, der am h dranhängt.
Also tiefer als das h ist.
> Dankeschön! :)
>
> Gruß,
> Matritze
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 So 30.10.2011 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
> Wenn Du so willst, ist das der Index, der am h dranhängt.
> Also tiefer als das h ist.
Ahhh, jetzt verstehe ich. Das hat Sinn und ist einfach zu verstehen!! :)
Vielen vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen. :)
Gruß,
Matritze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Schnittpunkt muss ja von t abhängen, also bestimme au 2 deiner Gl r,s in Abhängigkeit von t, setze in die dritte ein, um festzustellen ob sie auch stimmt.
wenn du den Schnittpunkt in Abh. von t hast, musst du in b) ja nur noch t bestimmen!
Gruss leduart
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