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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Am95 |
Hallo :)
Also meine Frage ist ... wenn ich mehrere Vektoren voneinander abziehe, was genau berechne ich da eigentlich? Wenn ich zwei voneinander abziehe berechnet man ja den Weg zwischen den beiden Enden der Vektoren aber bei mehreren?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :)
> Also meine Frage ist ... wenn ich mehrere Vektoren
> voneinander abziehe, was genau berechne ich da eigentlich?
> Wenn ich zwei voneinander abziehe berechnet man ja den Weg
> zwischen den beiden Enden der Vektoren aber bei mehreren?
na, dann mal Dir doch ein Bild auf und bedenke, wie man hier
diese Differenz "nach und nach in der richtigen Reihenfolge" zu bilden
hätte. So kann man etwa:
[mm] $$\vec{v}_1-\vec{v}_2-\vec{v}_3-\vec{v}_4=((\vec{v}_1-\vec{v}_2)-\vec{v}_3)-\vec{v}_4$$
[/mm]
schreiben.
Dann interpretierst Du:
[mm] $\vec{v}_1-\vec{v}_2=:\vec{w}_1$ [/mm] ist die gerichtete Strecke...
Demnach folgt
[mm] $(\vec{v}_1-\vec{v}_2)-\vec{v}_3=\vec{w}_1-\vec{v}_3$ [/mm] ist die gerichtete Strecke...
Es gibt aber eine viel einfachere Interpretation. Ich nehme an, wie man
die Vektoraddition geometrisch zu verstehen hat, ist Dir klar, also auch
die Addition mehrerer Vektoren. Dann bedenke einfach
[mm] $$\vec{v}_1-\vec{v}_2-\vec{v}_3-\vec{v}_4=\vec{v}_1+(-1)*\vec{v}_2+(-1)*\vec{v}_3+(-1)*\vec{v}_4$$
[/mm]
und bedenke einfach, dass [mm] $(-1)*\vec{v}_j=-\vec{v}_j=:\vec{\tilde{v}}_j$ [/mm] ja "einfach nur der Vektor [mm] $\vec{v}_j$ [/mm] "in seiner
'Richtung' umgedreht ist" ". Denn dann hast Du die Differenz mehrerer
"Anschauungs-"Vektoren auf die Addition mehrerer zurückgeführt:
[mm] $$\vec{v}_1-\vec{v}_2-\vec{v}_3-\vec{v}_4=\vec{v}_1+\vec{\tilde{v}}_2+\vec{\tilde{v}}_3+\vec{\tilde{v}}_4\,.$$
[/mm]
Mach' Dir dazu am besten mal ein einfaches Beispiel im [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] damit Dir
das zunächst mal klarer wird.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Am95 |
Ich verstehs immernoch nicht so ganz ...
wenn ich jetzt z.B. die Punkte
(1 / 1), (0 / 1), (-1 / 1) addiere kommt (0 / 3)
raus. Das ist für mich verständlich, da man damit direkt zum anderen Punkt kommt.
Wenn ich diese subtrahiere, dann kommt erst (1 / 0) und dann (2 / -1) raus. Was soll mir das jetzt sagen. Der Vektor hat doch dann nichts mehr mit den anderen zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
Wenn ich Marcels Beispiel jetzt richtig verstanden habe,
geht es zunächst einmal nicht um Punkte, sondern um Vektoren im [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Wenn du also drei Vektoren miteinander addierst:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{CD}, [/mm] ist die kürzeste Strecke zwischen deinem Anfangspunkt und deinem Endpunkt (der Punkt, an dem du zum Schluss landest) dein neuer Vektor, die Summe der drei oben genannten Vektoren.
Für die Subtraktion von Vektoren verhälst es sich dann analog in die entgegengesetzte Richtung.
mfg,
zjay.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehs immernoch nicht so ganz ...
> wenn ich jetzt z.B. die Punkte
>
> (1 / 1), (0 / 1), (-1 / 1) addiere kommt (0 / 3)
> raus. Das ist für mich verständlich, da man damit direkt
> zum anderen Punkt kommt.
> Wenn ich diese subtrahiere, dann kommt erst (1 / 0) und
> dann (2 / -1) raus. Was soll mir das jetzt sagen. Der
> Vektor hat doch dann nichts mehr mit den anderen zu tun?
eben doch (nebenbei: Du identifizierst hier Vektoren mit Punkten - das ist
auch nicht schlimm, aber manch' einer unterscheidet etwa Punkte und
"Anschauungsvektoren").
Es ist doch ganz einfach - die Addition hast Du verstanden.
So, und anstatt
[mm] $$\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}-\vektor{-1\\1}=\vektor{2\\-1}$$
[/mm]
zu rechnen:
1. Weg: Die Berechnung
[mm] $$\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}=\vektor{1\\0}$$
[/mm]
ist Dir doch geoemtrisch klar gewesen.
Und dann wird Dir auch
[mm] $$\vektor{1\\0}-\vektor{-1\\1}$$
[/mm]
geometrisch klar sein.
Nichts anderes macht man bei der Berechnung von [mm] $\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}-\vektor{-1\\1}:$
[/mm]
[mm] $$\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}-\vektor{-1\\1}=\left(\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}\right)-\vektor{-1\\1}$$
[/mm]
Aber der zweite Weg war der anschaulichere, da muss man anschaulich
nicht mehr als die Vektoraddition verstanden haben:
[mm] $$\vektor{1\\1}-\vektor{0\\1}-\vektor{-1\\1}=\vektor{1\\1}+(-1)*\vektor{\red{\;+\;}0\\\red{\;+\;}1}+(-1)*\vektor{\red{\;-\;}1\\\red{\;+\;}1}=\vektor{1\\1}\red{\;+\;}\vektor{\red{\;-\;}0\\\red{\;-\;}1}\red{\;+\;}\vektor{\red{\;+\;}1\\\red{\;-\;}1}$$
[/mm]
Denn wie geometrisch etwa der Vektor [mm] $\vektor{\red{\;+\;}1\\\red{\;-\;}1}$ [/mm] mit [mm] $\vektor{\red{\;-\;}1\\\red{\;+\;}1}$ [/mm]
in Zusammenhang steht, ist doch klar, oder?
Gruß,
Marcel
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