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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 03.04.2005 | | Autor: | Olaf |
Hi Leute,
ich habe ein kleines Problem:
Zeigen Sie, dass jeweils zwei der drei Vektoren linear unabhängig sind und stellen Sie jeden der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dar.
a) [mm] \vektor{3 \\ 1} \vektor{-1 \\ 1} \vektor{2 \\0}
[/mm]
Jetzt habe ich das mal gerechnet mit den Linearkombinationen und jeder der Vektoren ist als Linearkombination der beiden anderen darstellbar ist. Sind die dann alle linear abhängig oder worauf muss ich da achten???
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Linerare (un)abhänigkeit:
[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] = k* [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
wenn es ein k gibt, sodass die Gleichung passt, sind die
Vektoren linerar abhänig.
Linerarkombination:
[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] = X1* [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] + X2* [mm] \vektor{2 \\ 0}
[/mm]
und du musst die x rauskriegen.
Alles klar?
Hanna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 03.04.2005 | | Autor: | Olaf |
ja das habe ich auch gemacht...für x1 habe ich da 2 und x2 ist bei mir 1. un da ich also dieses k habe sind dann alle drei vektoren linear abhängig oder wie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 03.04.2005 | | Autor: | Olaf |
Kann mir viell sonst noch jemand helfen??
Was muss ich denn machen, um herauszufinden ob die Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind??? Ich habe ja bis jetzt nur die Linearkombinationen bestimmt, reicht das schon??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 03.04.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Olaf,
> Kann mir viell sonst noch jemand helfen??
Dann werd ich mal versuchen das Missverständnis aufzuklären. 
> Was muss ich denn machen, um herauszufinden ob die
> Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind???
Das hat dir Hanna doch schon gesagt. Was hast du daran nicht verstanden?
Also vielleicht rechne ich ihr Beispiel kurz zu Ende.
[mm] \vektor{3\\ 1}=k* \vektor{-1\\ 1} [/mm]
Du siehst hier schon, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Da es kein k gibt, das diese Gleichung erfüllt.
Wenn man will (oder vielleich sogar muss) kann man ein komponentenweise (also eine Gleichung für die x Koordinate und eine Gleichung für die y Koordinate) Gleichungen aufstellen und versuchen diese zu lösen. Wenn man auf einen Widerspruch stößt sind sie linear unabhängig.
(I) [mm]3=k*(-1)[/mm] daraus folgt (I') k=-3
(II) 1=k
Gleichsetzen von (1') und (II) folgt: -3=1 , das ist ein Widerspruch
Also sind die beiden Vektoren tatsächlich linear unabhängig.
Und genauso musst du die anderen Kombinationen überprüfen.
Also:
[mm] \vektor{3 \\ 1}=k* \vektor{2 \\ 0}[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1 }=k* \vektor{2 \\ 0} [/mm]
> Ich habe
> ja bis jetzt nur die Linearkombinationen bestimmt, reicht
> das schon??
Nein das reicht nicht, aber du weißt ja jetzt hoffentlich was zu tun ist.
Wenn nicht frag noch mal nach.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 So 03.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi, geht nur um eine kleine Passage, zu der im Anschluss von Andi selbst das Gegenteil gesagt wird:
"Wenn man auf einen Widerspruch stößt sind sie linear abhängig."
Wenn man auf einen Widerspruch beim Auflösen nach dem k stößt, dann sind sie selbstverständlich linear UNabhängig, d.h. man kann den einen Vektor nicht als Vielfaches von dem anderen darstellen.
Hier noch der Textabschnitt, wo Andi genau das zeigt:
"Gleichsetzen von (1') und (II) folgt: -3=1 , das ist ein Widerspruch
Also sind die beiden Vektoren tatsächlich linear unabhängig. "
Nichts für ungut (ich bin noch ziemlich neu hier) und gute n8,
mathrix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo mathrix,
vielen Dank, dass du meine Antwort korrekturgelesen und mir auch gleich eine so tolle Fehlermeldung geschrieben hast.
Ich habe es so eben ausgebessert.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 03.04.2005 | | Autor: | Andi |
> ja das habe ich auch gemacht...für x1 habe ich da 2 und x2
> ist bei mir 1. un da ich also dieses k habe sind dann alle
> drei vektoren linear abhängig oder wie?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") die drei Vektoren sind linear abhängig
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3 Vektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] sind immer linear abhängig. Man kann einen Vektor im [mm] \IR^{2} [/mm] durch zwei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^{2} [/mm] darstellen. Im Koordinatensystem sind das z.B. die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] aber das nur am Rande...
Zeig einfach, dass Du jeden der drei Vektoren durch Linearkombination der anderen beiden darstellen kannst, denn damit zeigst du, dass die drei linear abhängig sind.
Betrachtest Du aber nur zwei der drei Vektoren, sind diese zwei linear unabhängig. Wie Du das beweisen kannst, steht ja schon in der Antwort vorher recht ausführlich. (Einer ist Vielfaches des anderen, Widerspruch, fertig)
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