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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 17.03.2005 | | Autor: | darklion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ;)
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Denksanstoß geben könnte.
Aufgabe lautet folgendermaßen. Man hat eine Pyramide mir quadratischer Grundfläche, alle Kanten haben die Länge a. Finde den Punkt im Inneren der Pyramide der von allen Ebenen den gleichen Abstand hat. So zuert hab ich den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Quadrats gesetzt. E die Spitze der Pyramide berechnet [mm] (o/o/a\wurzel(1/2)), [/mm] dann hab ich den Normalen vektor zu zwei gegenüberliegenen ebenen berechnet. ich hab jetzt auch deren hühe als gerade. Nur irgendwie bin ich jetzt verwirrt. Wie mache ich weiter? Danke für eure Hilfe.
Isabel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Eddy |
Hallo,
ich weiß nicht, obs stimmt, daher schlage ich dies hier nur vor.
Die Abstände interpretiere ich als Linie vom Mittelpunkt der Pyramide zum Mittelpunkt der Ebene. Sagen wir der Mittelpunkt hat die Koordinaten
M = [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} }
[/mm]
und der Mittelpunkt der Grundfläche ist bei
G = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 },
[/mm]
dann liegt der Mittelpunkt bei
M = [mm] \pmat{ 0 & 0 & x_{3} }
[/mm]
Und die Länge L entspricht dann der dritten Achse, also [mm] x_{3}.
[/mm]
Jetzt brauchst du noch den Abstand zu einer Ebene an der Seite, hierbei brauchst du aber nur eine, weil du den Punkt M schon mittig im Sinne der ersten und zweiten Achse gesetzt hast, nur noch die Höhe richtig verstellen musst quasi und das, weil die Grundfläche ja quadratisch ist.
Über die Vektorrechnung bekommst du einen Punkt einer der Seitenflächen wie folgt:
[mm] \overrightarrow{OMs} [/mm] = [mm] \pmat{ a/2 & 0 & 0 } [/mm] + k * [mm] \pmat{ -a/2 & 0 & a * \wurzel{ 1/2 }}
[/mm]
wofür gilt 0 < k < 1.
Die Steigung der Seitenebene ist ja hier
ms = a * [mm] \wurzel{ 1/2 } [/mm] / (-a/2)
Du willst ja den Abstand messen und brauchst dafür eine Orthogonale, die die Steigung hat
ma = - (ms^(-1))
Das weiß man halt..
Jetzt hast du den Punkt M, den Punkt, der durch [mm] \overrightarrow{OMs} [/mm] beschrieben wird und die Steigung der Abstandslinie.
Nun kannst du eine Gleichung aufstellen für eine Sekante, die durch diese Punkte geht, die aber die Steigung ma hat. Dadurch kannst du jetzt einen Punkt auf der Seitenfläche in Abhängigkeit von [mm] x_{3} [/mm] bestimmen.
Und dann gibt es ja auch noch so eine Formel, mit der man die Länge einer Gerade messen kann, wenn man die Koordinaten hat.. Man erinnere sich an den Pythagoras..
Ja und diese Länge muss letztendlich mit [mm] x_{3} [/mm] übereinstimmen.
Irgendwie kannst du das halt umformen, aber ein wenig musst du ja noch selber machen..
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Hallo, darklion
ich mein, Du solltest die Steigung der WinkelSymetralebene
( schwarze Linie im 3eck rechts unten )
gegenüber der Grundfläche berechnen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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