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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 17.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] seien linear unabhängig.Untersuchen Sie die folgenden Vektoren auf lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit:
[mm] \vec{a_{1}}=\vec{c}-\vec{a}, [/mm]
[mm] \vec{a_{2}}=\vec{b}-\vec{a},
[/mm]
[mm] \vec{a_{3}}=\vec{b}-\vec{c}.
[/mm]
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Hallo^^
Ich hab diese Aufgabe gerechnet,hab da aber ein kleines Problem.
Also zunächst hab ich ein Gleichungssystem aufgestellt:
[mm] r*\vec{a_{1}}+s*\vec{a_{2}}+t*\vec{a_{3}}=0
[/mm]
[mm] r*(\vec{c}-\vec{a})+s*(\vec{b}-\vec{a})+t*(\vec{b}-\vec{c})=0
[/mm]
[mm] \vec{a}*(-r-s)+\vec{b}*(s+t)+\vec{c}*(r-t)=0
[/mm]
1.) -r-s=0
2.) s+t=0 -->-s=t
3.) r-t=0 --> r=t
--> -s=r,das heißt: -s=r=t
aber woher weiß ich denn jetzt genau,ob das linear abhängig oder unabhängig ist,weil es ist ja noch nicht bewiesen???
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] seien linear
> unabhängig.Untersuchen Sie die folgenden Vektoren auf
> lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit:
>
> [mm]vec{a_{1}}=\vec{c}-\vec{a},[/mm]
> [mm]vec{a_{2}}=\vec{b}-\vec{a},[/mm]
> [mm]vec{a_{3}}=\vec{b}-\vec{c}.[/mm]
>
>
> Hallo^^
>
> Ich hab diese Aufgabe gerechnet,hab da aber ein kleines
> Problem.
>
> Also zunächst hab ich ein Gleichungssystem aufgestellt:
>
> [mm]r*vec{a_{1}}+s*vec{a_{2}}+t*vec{a_{3}}=0[/mm]
>
> [mm]r*(\vec{c}-\vec{a})+s*(\vec{b}-\vec{a})+t*(\vec{b}-\vec{c})=0[/mm]
>
> [mm]\vec{a}*(-r-s)+\vec{b}*(s+t)+\vec{c}*(r-t)=0[/mm]
>
> 1.) -r-s=0
> 2.) s+t=0 -->-s=t
> 3.) r-t=0 --> r=t
>
> --> -s=r,das heißt: -s=r=t
>
> aber woher weiß ich denn jetzt genau,ob das linear abhängig
> oder unabhängig ist,weil es ist ja noch nicht bewiesen???
>
-s=r=t bedeutet : für jede derartige Wahl von r,s und t ist
[mm]r*(\vec{c}-\vec{a})+s*(\vec{b}-\vec{a})+t*(\vec{b}-\vec{c})=0[/mm]
Nimm mal r=t = 1 und s= -1, so siehst Du: die Vektoren sind linear abhängig.
FRED
> Vielen Dank
>
> lg
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:32 Di 17.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
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> -s=r=t bedeutet : für jede derartige Wahl von r,s und t
> ist
>
> [mm]r*(\vec{c}-\vec{a})+s*(\vec{b}-\vec{a})+t*(\vec{b}-\vec{c})=0[/mm]
>
> Nimm mal r=t = 1 und s= -1, so siehst Du: die Vektoren sind
> linear abhängig.
Ok,hab ich gemacht,dann hab ich
[mm] \vec{c}-\vec{a}-\vec{b}+\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=0
[/mm]
Das ist aber 0=0.Davon weiß ich doch nicht,dass es linear abhängig ist ???
lg
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Hallo Mandy!
Nur wenn die (triviale) Lösung $r \ = \ s \ = \ t \ = \ 0$ als einzige Lösung Deine Bestimmungsgleichung erfüllt, sind die entsprechenden Vektoren linear unabhängig.
Gibt es nur ein einziges Lösungstripel, das sich von $r \ = \ s \ = \ t \ = \ 0$ unterscheidet, sind die Vektoren linear abhängig (siehe dazu auch Fred's Antwort).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 17.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,klar.Ok,habs verstanden.
Vielen Dank =)
lg
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