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| Aufgabe 1 | | Sei n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl. Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm] x=(x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n}) [/mm] des [mm] \IR^{n}, [/mm] die der Gleichung [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{c} [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] x=(x_{1},x_{2}) [/mm] ein beliebiger Vektor des [mm] \IR^{2}. [/mm] Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm] y=(y_{1}, y_{2}) [/mm] des [mm] \IR^{2}, [/mm] die die Gleichung [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] erfüllen. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
| Aufgabe 3 | Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl.
a) Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm] x=(x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n}) [/mm] des [mm] \IR^{n}, [/mm] die für alle natürlichen Zahlen k [mm] \ge [/mm] 1 der Gleichung [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel)^{k} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{c} [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort!
b) Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm] x=(x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n}) [/mm] des [mm] \IR^{n}, [/mm] die für alle natürlichen Zahlen k [mm] \ge [/mm] 1 der Gleichung [mm] (\parallel [/mm] x [mm] \parallel) [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{c}^{k} [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
| Aufgabe 4 | | Sei n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl. Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm] x=(x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n}) [/mm] und [mm] y=(y_{1}, [/mm] ... , [mm] y_{n}) [/mm] des [mm] \IR^{n}, [/mm] die der Gleichung [mm] (\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel)_{c} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{c} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{c} [/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum veröffentlicht.
Hallo ihr Lieben,
also ich brüte bei diesen Aufgaben, um mich auf eine Prüfung ein wenig vorzubereiten. Leider habe ich so etwas noch nie gesehen bzw. komme nicht so ganz klar mit diesen abstrakten Beweisen. Ich weiß nicht, was der Prof von mir will.
Bin sehr überfordert.
Es wäre total lieb, wenn jemand mir die Aufgaben (teilweise) so löst, dass ich die Lösungen auch nachvollziehen kann. Ich weiß, dass kann zuviel verlangt sein, aber hier sind ja tolle Profis am Werk.
Also bei A. 1 kommt bei mir für n=2 heraus:
[mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] = [mm] |x_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}|, [/mm] also müssen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] und eigentlich doch dann auch alle x also [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{n} [/mm] doch aus der Menge [mm] \{-1,0,1 \} [/mm] kommen, damit das immer passt mit den Beträgen, aber wie zeige ich das und wie beweise ich das elegant und ohne "größere" Mühen ?!
Die A. 2, 3, 4 habe ich noch nicht probiert, bin ich noch nicht zu gekommen, da ich momentan sehr mit Arbeiten beschäftigt bin.
Ich entschuldige mich schonmal für meine "Dummheit" :).
Liebe Grüße
Michi
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Hallo,
ich äußere mich erst einmal zur Aufgabe Nr. 2
Aufgabe 2
Sei $ [mm] x=(x_{1},x_{2}) [/mm] $ ein beliebiger Vektor des $ [mm] \IR^{2}. [/mm] $ Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) $ [mm] y=(y_{1}, y_{2}) [/mm] $ des $ [mm] \IR^{2}, [/mm] $ die die Gleichung $ [mm] \parallel [/mm] $ x+y $ [mm] \parallel [/mm] $ = $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel [/mm] $ + $ [mm] \parallel [/mm] $ y $ [mm] \parallel [/mm] $ erfüllen. Beweisen Sie Ihre Antwort!
Hier ist wohl ein geschickter Ansatz zu gebrauchen:
Seien x und y linear abhängig, dann gilt die obige Relation.
Bew.:
Setze [mm] $x=\lambda [/mm] y$ mit [mm] \lambda\in\IR_+.
[/mm]
[mm] \Vert x+y\Vert=\Vert \lambda y+y\Vert=\Vert (\lambda+1)y\Vert=(\lambda+1)\Vert y\Vert=\lambda\Vert y\Vert+\Vert y\Vert=\Vert \lambda y\Vert+\Vert y\Vert=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert
[/mm]
Folgende Frage sollte man sich noch stellen: Was ist, wenn die Vektoren in gegengesetzte Richtung zeigen, also wenn [mm] \lambda<0? [/mm] Schließlich gilt ja für Normen: [mm] \Vert \lambda x\Vert=|\lambda|\Vert x\Vert
[/mm]
Noch als kleiner Hinweis:
Wenn du Aufgabe 3 a) zeigst, dann hast du automatisch auch Aufgabe 1 gelöst. Von daher würde ich mich damit eventll. gar nicht groß beschäftigen, sondern gliech zur Nummer 3 übergehen. ;)
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vielen Dank! Diese ganzen Tricks sind mir selten bewusst bei den Beweisen. Gibt es irgendwo eine Übersicht mit "Tricks", also das, was ich in Beweisen tun darf und was ich unterlassen soll?
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Hi,
> vielen Dank! Diese ganzen Tricks sind mir selten bewusst
> bei den Beweisen. Gibt es irgendwo eine Übersicht mit
> "Tricks", also das, was ich in Beweisen tun darf und was
> ich unterlassen soll?
nie und nimmer ;)
Allgemein: Arbeite immer mit den Definitionen. Mit den entsprechenden Eigenschaften muss man eben arbeiten.
Aber eine Trickkiste gibt es leider nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie,
> Allgemein: Arbeite immer mit den Definitionen. Mit den
> entsprechenden Eigenschaften muss man eben arbeiten.
>
> Aber eine Trickkiste gibt es leider nicht.
Heißt nicht eine Trickkiste Phantasie? 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Johannes,
i.A. würde ich dir zustimmen. Aber das ganze macht immer den Anschein, als gibt es wirklich eine Art Liste mit allen Kniffen und Tipps, die man auswendig lernen muss. Sagen wir mal so, die Phantasie erschafft Tricks, aber weiß sie nicht. Sie müssen erarbeitet werden. Ok?
Schon oft haben wir hier doch hier einfach angefangen zu rechnen, stur hinternander weg. Und plötzlich kam Fred um die Ecke und meinte: "Die Aufgabe ist doch gar nicht lösbar." Manchmal denkt man eben nicht. Man rechnet stur. Auch das ist nicht gut. Von daher wäre es sicherlich auch nützlich einfach mal darüber nachzudenken, was man macht, wieso man es macht und wie es vielleicht anders geht.
Mir ist gerade nicht bewusst, wie ich auf obiges gekommen bin. Nunja. Um den Bogen wieder zu finden:
Zu meiner Kindheit gab es auf dem KIKA eine Sendung die hieß Trickkiste. Aber das ist wohl auch nicht das, was man braucht .... ;)
Es grüßt
der Richie.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richard,
ich hatte das eigentlich genau so gemeint wie du es auch siehst.
Zu erst kommen die Definitionen. Sie muss man sich erarbeiten, muss sie sich begrifflich zu eigen machen. Dann fängt man an, sich ein wenig damit aufs Glatteis zu wagen und wenn es gut läuft, dann fängt man an, mit den Definitionen und den sich daraus ergebenden Schlussfolgerungen zu spielen wie ein Kind mit Kieselsteinen sich eine Welt erschaffen kann. Und das sieht dann nach außen fälschlicherweise so aus, als hätte man irgendwo eine Trickkiste versteckt.
Noch ein Beispiel (ich oute mich mal als Fußballfan  ): als er noch gespielt hat war Zinedine Zidane mein absoluter Lieblingsspieler. Bei ihm hatte man immer ein wenig den Eindruck, er habe in einem Moment 1000 Ideen für einen genialen Spielzug, und was er dann gemacht hat wusste er vorher selbst nicht. Das klappt aber halt auch nicht, wenn man nicht absolut ballsicher und topfit ist, und für beides braucht es hartes Training, welches aber der Zuschauer natürlich nicht gesehen hat.
Im Idealfall läuft Mathematik IMO auch so ab. Es gibt nicht die Universalformel für alles und auch die Trickkiste zum Auswendiglernen, die es für manche Problemgruppen durchaus gibt (Bsp. Reihenkonvergenz) ist für den Anfang ganz brauchbar aber man sollte darüber hinauskommen, sich nur mit einem solchen Schema-F-Rechnen zu begnügen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Johannes,
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> i.A. würde ich dir zustimmen. Aber das ganze macht immer
> den Anschein, als gibt es wirklich eine Art Liste mit allen
> Kniffen und Tipps, die man auswendig lernen muss. Sagen wir
> mal so, die Phantasie erschafft Tricks, aber weiß sie
> nicht. Sie müssen erarbeitet werden. Ok?
>
> Schon oft haben wir hier doch hier einfach angefangen zu
> rechnen, stur hinternander weg. Und plötzlich kam Fred um
> die Ecke und meinte: "Die Aufgabe ist doch gar nicht
> lösbar."
Fred lauert auch überall. Aber er hat selten(st) Unrecht (meistens nur,
wenn die Aufgabenstellung irgendwie unklar formuliert war oder wenn
einfach etwas unleserlich oder falsch abgeschrieben wurde - und wirklich
Unrecht hatte er eigentlich nur, wenn er sich mal "verlesen" hat).
> Manchmal denkt man eben nicht. Man rechnet stur.
> Auch das ist nicht gut. Von daher wäre es sicherlich auch
> nützlich einfach mal darüber nachzudenken, was man macht,
> wieso man es macht und wie es vielleicht anders geht.
Es gibt eigentlich sehr viele Tricks und Kniffs. Die heißen
Satz
Theorem
Lemma
Korollar
usw. usf.
Aber: Um in der (höheren) Mathematik schnell einen guten Überblick und Ideen
zu bekommen, was eventuell wie weiterhelfen könnte, dazu bedarf es
- Erfahrung
- Geduld
- Ausdauer
- Mut dafür, lange umsonst gerechnet (und gedacht) zu haben
(Jede/r darf da noch das, was er/sie für wesentlich hält, gerne ergänzen!)
Insbesondere ist der Punkt "Erfahrung" nicht zu unterschätzen: Früher
starrte ich oft erstmal das Aufgabenblatt an und durchwälzte das Skript
danach, was ich jetzt bei der komischen Aufgabe da (erster Schritt:
Verstehen, was die Aufgabe eigentlich verlangt!) vielleicht mal anwenden
könnte. Dann macht man das und merkt: "Oh, wie geht das denn nun
weiter..." und wälzt weiter, was man nun machen kann, dass der Anfang
nicht ganz umsonst war. Irgendwann hat man aber den Blick und die
Übersicht, wo man bspw. bei 'ner Grenzwertberechnung merkt: Mhm,
okay, mit de l'Hôpital brauch' ich gar nicht erst anfangen. (Das merkt man
vielleicht auch erst, wenn man ein bisschen gerechnet hat und am
"Rechenschema" dann erkennt, warum man da nicht weiterkommt.)
Aber ich habe da ja noch zwei andere Sachen im Hinterkopf, mit denen
ich mal auf die Aufgabe "draufhauen" könnte..."
In diesem Sinne hat Mathematik auch etwas "handwerkliches": Ich werde
immer besser im Umgang mit meinem Werkzeug und bekomme meine
Arbeiten immer schneller und besser erledigt, je mehr ich die Werkzeuge
auch einsetze.
Wenn ich eine Badewanne leeren will, so kann ich das machen, indem ich
einen Eimer nehme und sie ausschöpfe (und am Ende muss ich mir
Gedanken machen, wie das letzte bisschen Restwasser da rauskommt,
aber das bekomme ich auch noch hin...) oder: Ich ziehe einfach den
Stöpsel.
Ein besserer Vergleich: Ich hatte eben Milch in 'ner Tasse warm gemacht,
weil ich Kakao aufgießen wollte. Die Mikrowelle hat die Tasse erhitzt, die
Milch musste aber in die andere Tasse gegossen werden. Jetzt kann ich
mir Gedanken machen, wie ich die heiße Tasse zu der kalten bringe, ohne
mich zu verbrennen (mit Küchentuch oder ...). Ich habe mich entschlossen,
einfach erstmal die kalte Tasse auf dem Tisch mit dem Pulver zu der heißen
zur Mikrowelle zu tragen.
> Mir ist gerade nicht bewusst, wie ich auf obiges gekommen
> bin. Nunja. Um den Bogen wieder zu finden:
> Zu meiner Kindheit gab es auf dem KIKA eine Sendung die
> hieß Trickkiste. Aber das ist wohl auch nicht das, was man
> braucht .... ;)
Die ganze Mathematik ist eigentlich eine reine Trickkiste. Das richtige
Benutzen der Tricks in den richtigen Situationen ist eigentlich eher das,
was man wirklich zu erlernen hat.
(Okay, daneben bzw. dabei muss man auch erstmal "die Sprache"
(Definitionen etc. pp.) erlernen!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:55 So 21.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> Ein besserer Vergleich: Ich hatte eben Milch in 'ner Tasse
> warm gemacht,
> weil ich Kakao aufgießen wollte. Die Mikrowelle hat die
> Tasse erhitzt, die
Als Physikstudent möchte ich nun auch mal so "pingelig" sein, wie manch' ein Mathematiker - ich bitte jetzt schon um Verzeihung, Marcel.
Obiges ist falsch. Die Strahlung hat deine Milch erwärmt, und die Milch hat dann die Tasse erwärmt.
Knäckebrot in der Mikrowelle wird auch nicht warm...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 21.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> > Ein besserer Vergleich: Ich hatte eben Milch in 'ner Tasse
> > warm gemacht,
> > weil ich Kakao aufgießen wollte. Die Mikrowelle hat
> die
> > Tasse erhitzt, die
> Als Physikstudent möchte ich nun auch mal so "pingelig"
> sein, wie manch' ein Mathematiker - ich bitte jetzt schon
> um Verzeihung, Marcel.
>
> Obiges ist falsch. Die Strahlung hat deine Milch erwärmt,
> und die Milch hat dann die Tasse erwärmt.
Danke! Das finde ich schon sehr aufschlußreich.
> Knäckebrot in der Mikrowelle wird auch nicht warm...
Ernsthaft? Aber Brot kann man doch erwärmen. Das liegt also an
"speziellen Zutaten", dass die "Strahlung" bei 'normalen Brot' in der
Mikrowelle funktioniert?
Muss ich echt mal austesten, das mit dem Knäckebrot!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Mo 22.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marcel
> Hallo Richie,
>
> > > Ein besserer Vergleich: Ich hatte eben Milch in 'ner Tasse
> > > warm gemacht,
> > > weil ich Kakao aufgießen wollte. Die Mikrowelle hat
> > die
> > > Tasse erhitzt, die
> > Als Physikstudent möchte ich nun auch mal so "pingelig"
> > sein, wie manch' ein Mathematiker - ich bitte jetzt schon
> > um Verzeihung, Marcel.
> >
> > Obiges ist falsch. Die Strahlung hat deine Milch erwärmt,
> > und die Milch hat dann die Tasse erwärmt.
>
> Danke! Das finde ich schon sehr aufschlußreich.
>
> > Knäckebrot in der Mikrowelle wird auch nicht warm...
>
> Ernsthaft? Aber Brot kann man doch erwärmen. Das liegt
> also an
> "speziellen Zutaten", dass die "Strahlung" bei 'normalen
> Brot' in der
> Mikrowelle funktioniert?
>
> Muss ich echt mal austesten, das mit dem Knäckebrot!
Knäckebrot ist einfach zu trocken, als das es in der Mikrowelle erhitzt werden kann.
http://www.weltderphysik.de/thema/alltag/mikrowellenherd/
>
> Gruß,
> Marcel
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich äußere mich erst einmal zur Aufgabe Nr. 2
>
> Aufgabe 2
> Sei [mm]x=(x_{1},x_{2})[/mm] ein beliebiger Vektor des [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm]y=(y_{1}, y_{2})[/mm] des
> [mm]\IR^{2},[/mm] die die Gleichung [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] erfüllen.
> Beweisen Sie Ihre Antwort!
>
> Hier ist wohl ein geschickter Ansatz zu gebrauchen:
> Seien x und y linear abhängig, dann gilt die obige
> Relation.
das sollte man genauer schreiben: Die Relation gilt genau dann, wenn
[mm] $\{x,y\}$ [/mm] linear abhängig ist und ... (...=sie in die gleiche Richtung weisen).
Denn Du zeigst so ja nur, dass, wenn [mm] $\{x,y\}$ [/mm] linear abhängig ist und
wenn [mm] $x=\lambda [/mm] y$
mit einem [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$, dass dann auch [mm] $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ [/mm] gilt. Da bleibt noch etwas
zu zeigen:
Schließlich sollen ALLE [mm] $y\,$ [/mm] so gefunden werden, dass [mm] $\{x,y\}$ [/mm] die genannte
Gleichung erfüllt.
> Bew.:
> Setze [mm]x=\lambda y[/mm] mit [mm]\lambda\in\IR_+.[/mm]
>
> [mm]\Vert x+y\Vert=\Vert \lambda y+y\Vert=\Vert (\lambda+1)y\Vert=(\lambda+1)\Vert y\Vert=\lambda\Vert y\Vert+\Vert y\Vert=\Vert \lambda y\Vert+\Vert y\Vert=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert[/mm]
>
> Folgende Frage sollte man sich noch stellen: Was ist, wenn
> die Vektoren in gegengesetzte Richtung zeigen, also wenn
> [mm]\lambda<0?[/mm] Schließlich gilt ja für Normen: [mm]\Vert \lambda x\Vert=|\lambda|\Vert x\Vert[/mm]
Es fehlt auch die Frage: Was ist, wenn [mm] $\{x,y\}$ [/mm] linear unabhängig ist? "Anschaulich"
ist sofort klar, dass dann [mm] $\|x+y\| \not=\|x\|+\|y\|$ [/mm] (genauer: [mm] $\|x+y\| [/mm] < [mm] \|x\|+\|y\|$) [/mm] gilt. Aber
das ist auch zu beweisen.
(Denn, wie gesagt, bisher kennt er "eine Teilmenge der Menge, die alle
[mm] $y\,$ [/mm] enthält, die die Gleichung erfüllen". Aber er soll ja die gesamte
Menge angeben!)
Generell:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung]http://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung]http://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung:
Zitat: ... wobei die Gleichheit im Fall 1 < p < [mm] \infty [/mm] genau dann vorliegt, wenn f und g positiv linear abhängig sind.
Den Beweis dazu kann man leicht googeln, er ist auch nicht allzu schwer
und findet sich zudem in fast jedem (vernünftigen) L.A. Buch!
(Oder Analysis oder Funktionalanalysis!)
> Noch als kleiner Hinweis:
> Wenn du Aufgabe 3 a) zeigst, dann hast du automatisch auch
> Aufgabe 1 gelöst. Von daher würde ich mich damit eventll.
> gar nicht groß beschäftigen, sondern gliech zur Nummer 3
> übergehen. ;)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:50 So 21.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
> Denn Du zeigst so ja nur, dass, wenn [mm]\{x,y\}[/mm] linear
> abhängig ist und
> wenn [mm]x=\lambda y[/mm]
> mit einem [mm]\lambda \ge 0[/mm], dass dann auch [mm]\|x+y\|=\|x\|+\|y\|[/mm]
> gilt. Da bleibt noch etwas
> zu zeigen:
> Schließlich sollen ALLE [mm]y\,[/mm] so gefunden werden, dass
> [mm]\{x,y\}[/mm] die genannte
> Gleichung erfüllt.
Hallo Marcel,
diesen Hinweis habe ich aber auch gegeben, der steht am Ende:
> > Folgende Frage sollte man sich noch stellen: Was ist, wenn
> > die Vektoren in gegengesetzte Richtung zeigen, also wenn
> > [mm]\lambda<0?[/mm] Schließlich gilt ja für Normen: [mm]\Vert \lambda x\Vert=|\lambda|\Vert x\Vert[/mm]
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Hallo noch einmal,
Die Aufgabe war:
Sei n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 eine natürliche Zahl. Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) $ [mm] x=(x_{1}, [/mm] $ ... , $ [mm] x_{n}) [/mm] $ des $ [mm] \IR^{n}, [/mm] $ die der Gleichung $ [mm] (\parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel)^{2} [/mm] $ = $ [mm] \parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel_{c} [/mm] $ genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort!
Schreiben wir mal auf, was dort steht:
[mm] \Vert x\Vert=\summe_{i=1}^{n}{x_i}^2=\summe_{i=1}^{n}|x_i|=\Vert x\Vert_c
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0=\summe_{i=1}^{n}{x_i}^2-\summe_{i=1}^{n}|x_i|=\summe_{i=1}^{n}({x_i}^2-|x_i|)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ldots
[/mm]
Kannst du den Gedanken zu Ende führen?
Aufschreiben kannst du Lösungen dann in der folgenden Art und Weise:
[mm] x=\{ x\in\IR^n| x_i=\star\star\star, i=1,\ldots n\}
[/mm]
bei den [mm] \star\star\star [/mm] sollte dann die "Lösung stehen"
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ja ich hab ja schon geschrieben, dass das nur aus -1,0,+1 sein kann, da sonst da z. B. für 2 steht 4-2 = 2 und nicht 0. Würde das irgendwie reichen!?
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> ja ich hab ja schon geschrieben, dass das nur aus -1,0,+1
> sein kann, da sonst da z. B. für 2 steht 4-2 = 2 und nicht
> 0. Würde das irgendwie reichen!?
Es muss eben sauber aufgeschrieben werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei n [mm]\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl. Bestimmen Sie alle
> Vektoren (Punkte) [mm]x=(x_{1},[/mm] ... , [mm]x_{n})[/mm] des [mm]\IR^{n},[/mm] die
> der Gleichung [mm](\parallel[/mm] x [mm]\parallel)^{2}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{c}[/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort!
>
> Sei [mm]x=(x_{1},x_{2})[/mm] ein beliebiger Vektor des [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm]y=(y_{1}, y_{2})[/mm] des
> [mm]\IR^{2},[/mm] die die Gleichung [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] erfüllen.
> Beweisen Sie Ihre Antwort!
>
> Sei n [mm]\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl.
>
> b) Bestimmen Sie alle Vektoren (Punkte) [mm]x=(x_{1},[/mm] ... ,
> [mm]x_{n})[/mm] des [mm]\IR^{n},[/mm] die für alle natürlichen Zahlen k [mm]\ge[/mm]
> 1 der Gleichung [mm](\parallel[/mm] x [mm]\parallel)[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{c}^{k}[/mm] genügen. Beweisen Sie Ihre Antwort!
mithilfe etwa
der Minkowski-Ungleichung
kann man schnell einsehen, dass für eine linear unabhängige Menge [mm] $\{x,y\}$
[/mm]
die Gleichheit nicht gelten kann. Den Rest kannst Du dann mit Richies
Hinweisen abhandeln.
P.S.
Du kannst ja auch mal, weil das hier ja eigentlich noch alles "übersichtlich"
ist, einfach "durch stupides Rechnen" versuchen, nachzuweisen:
Aus [mm] $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ [/mm] (also [mm] $\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\sqrt{y_1^2+y_2^2}$ [/mm] (edit: der vorherige
"Unsinn meinerseits" ist hier korrigiert!)))
folgt
[mm] $x=\lambda [/mm] y$ mit einem [mm] $\lambda \in \IR.$
[/mm]
(Denn dann brauchst Du den oben erwähnten, doch recht starken Satz
von Minkowski nicht. Der ist halt "sehr" allgemein!)
P.S. Ich habe das gerade mal "stupide" durchgerechnet, das Fazit ist:
Aus [mm] $\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\sqrt{y_1^2+y_2^2}$ [/mm] folgt
[mm] $x_1y_2=y_1x_2\,.$
[/mm]
Jetzt Fallunterscheidungen:
1. Fall: [mm] $x=(x_1,x_2)=(0,0)$: [/mm] Klar! (Jede Menge [mm] $\{(0,0),y\}$ [/mm] ist linear abhängig!)
2. Fall: [mm] $x=(0,x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_2 \not=0\,:$ [/mm] Dann muss wegen
[mm] $0=0y_2=y_1x_2$ [/mm] mit [mm] $x_2 \not=0$
[/mm]
auch [mm] $y_1=0$ [/mm] sein. In jedem Falle sind dann [mm] $x=(0,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(0,y_2)$ [/mm] linear abhängig.
3. Fall: [mm] $x=(x_1,0)$ [/mm] mit [mm] $x_1 \not=0\,:$ [/mm] Analog 2. Fall.
4. Fall: [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_1 \not=0$ [/mm] und [mm] $x_2 \not=0\,.$ [/mm] Es gilt
[mm] $y_1=\frac{y_2}{x_2}*x_1$
[/mm]
und
[mm] $y_2=\frac{y_1x_2}{x_1}=\frac{y_1}{x_1}*x_2\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $y_1/x_1=y_2/x_2$ [/mm] mit [mm] $\lambda:=y_1/y_1$ [/mm] also
[mm] $y_1=\lambda x_1$ [/mm] und [mm] $y_2=\lambda x_2\,.$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $x=\lambda y\,,$ [/mm] also ist [mm] $\{x,y\}$ [/mm] linear abhängig!
Gruß,
Marcel
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welch Gespräche sich so entwickeln können :) danke schonmal für eure Hilfe, gucken, was ich mit den anderen Aufgaben machen kann....
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