Vektorbeweis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 So 24.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man zeige: zu zwei Vektoren $a,b [mm] \in \IR^{3}$ [/mm] existiert genau ein Vektor $v [mm] \in \IR^{3}$ [/mm] mit den Eigenschaften:
a) $v [mm] \perp [/mm] a$ und $ v [mm] \perp [/mm] b$
b) Die Länge von $v$ gibt den Inhalt der Fläche des Parallelogramms an, welches von $a$ und $b$ aufgespannt wird.
c) $det(a,b,v)>0$ |
Hallo,
bei a) habe ich das Kreuzprodukt eingesetzt in das Skalarprodukt: $av=0$ und $bv=0$ berechnet. Es wird für beide erfüllt.
b) Die Länge von v ist der Betrag von v, der Flächeninhalt des Parallelograms ist gegeben durch : [mm] $A=|(a^{2}b^{2}-(ab)^{2})^{1/2}|$ [/mm] die Länge mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms gleichsetzen und eine Seite von der anderen abziehen. Wenn ich 0 erhalte dann bin ich fertig.
c) auflösen mit Laplace
Reicht das schon als Zeigen? Wie zeige ich denn die Eindeutigkeit? Es gibt doch zum Beispiel immer 2 Vektoren, die senkrecht auf eine Ebene stehen wenn ich die Reihenfolge beim Kreuzprodukt vertausche! Also ist die Voraussetzung schon falsch???
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
ja, fast fertig.
> Man zeige: zu zwei Vektoren [mm]a,b \in \IR^{3}[/mm] existiert genau
> ein Vektor [mm]v \in \IR^{3}[/mm] mit den Eigenschaften:
>
> a) [mm]v \perp a[/mm] und [mm]v \perp b[/mm]
>
> b) Die Länge von [mm]v[/mm] gibt den Inhalt der Fläche des
> Parallelogramms an, welches von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] aufgespannt wird.
>
> c) [mm]det(a,b,v)>0[/mm]
>
> bei a) habe ich das Kreuzprodukt eingesetzt in das
> Skalarprodukt: [mm]av=0[/mm] und [mm]bv=0[/mm] berechnet. Es wird für
> beide erfüllt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Die Länge von v ist der Betrag von v, der
> Flächeninhalt des Parallelograms ist gegeben durch :
> [mm]A=|(a^{2}b^{2}-(ab)^{2})^{1/2}|[/mm] die Länge mit dem
> Flächeninhalt des Parallelogramms gleichsetzen und eine
> Seite von der anderen abziehen. Wenn ich 0 erhalte dann bin
> ich fertig.
> c) auflösen mit Laplace
Ja, z.B.
Oder mit Sarrus. Egal.
> Reicht das schon als Zeigen?
Prinzipiell: ja.
> Wie zeige ich denn die
> Eindeutigkeit? Es gibt doch zum Beispiel immer 2 Vektoren,
> die senkrecht auf eine Ebene stehen wenn ich die
> Reihenfolge beim Kreuzprodukt vertausche! Also ist die
> Voraussetzung schon falsch???
Nein, denn der eine Vektor erfüllt hier Bedingung c) nicht, der andere schon. Darum geht es - die Orientierung der drei Vektoren.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Man zeige: zu zwei Vektoren [mm]a,b \in \IR^{3}[/mm] existiert genau
> ein Vektor [mm]v \in \IR^{3}[/mm] mit den Eigenschaften:
>
> a) [mm]v \perp a[/mm] und [mm]v \perp b[/mm]
>
> b) Die Länge von [mm]v[/mm] gibt den Inhalt der Fläche des
> Parallelogramms an, welches von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] aufgespannt wird.
>
> c) [mm]det(a,b,v)>0[/mm]
> Hallo,
>
>
> bei a) habe ich das Kreuzprodukt eingesetzt in das
> Skalarprodukt: [mm]av=0[/mm] und [mm]bv=0[/mm] berechnet. Es wird für
> beide erfüllt.
>
> b) Die Länge von v ist der Betrag von v, der
> Flächeninhalt des Parallelograms ist gegeben durch :
> [mm]A=|(a^{2}b^{2}-(ab)^{2})^{1/2}|[/mm] die Länge mit dem
> Flächeninhalt des Parallelogramms gleichsetzen und eine
> Seite von der anderen abziehen. Wenn ich 0 erhalte dann bin
> ich fertig.
>
> c) auflösen mit Laplace
>
>
> Reicht das schon als Zeigen? Wie zeige ich denn die
> Eindeutigkeit? Es gibt doch zum Beispiel immer 2 Vektoren,
> die senkrecht auf eine Ebene stehen wenn ich die
> Reihenfolge beim Kreuzprodukt vertausche! Also ist die
> Voraussetzung schon falsch???
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
> kushkush
Hallo kushkush,
zwei Bemerkungen:
1.) In der Aufgabenstellung fehlt noch eine zusätzliche
Voraussetzung, nämlich dass die Vektoren a und b
linear unabhängig sein sollen. Ist dies nämlich nicht
der Fall, so kann jedenfalls die Bedingung (c) nicht
erfüllt werden.
2.) Die Eindeutigkeit muss wirklich noch bewiesen werden.
Man muss insbesondere noch zeigen, dass jeder Vektor
v mit $ v [mm] \perp [/mm] a $ und $ v [mm] \perp [/mm] b $ (mit linear unabhängigen a,b)
kollinear zu [mm] a\times{b} [/mm] ist.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 25.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo reverend und Al-Chwarizmi,
> Korrekturen
Danke!
> GrüBe
> LG
Gruss
kushkush
|
|
|
|
