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huhu zusammen,
ich arbeite mich grade selbstständig in das Thema Vektoranalysis rein und bin mir nicht sicher ob ich eine Sache ganz richtig verstehe:
Umparametrisierung
folgendes Beispiel:
p(t) = ( sin(t), cos(t) ) ,t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi/4 [/mm] ]
ist äquivalent zu
q(t) = ( [mm] \bruch{t}{\wurzel{1+t^2}} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+t^2}} [/mm] ) , t [mm] \in [/mm] [0,1]
q(r(t)) = p(t)
Umparametrisierung:
r(t) : [0, [mm] \pi/4 [/mm] ] [mm] \to [/mm] [0,1]
p(t) = tan (t)
Wieso sind p(t) und q(t) äquivalent? Beschreiben sie in ihrem Wertebereich die gleiche Kurve?
Und wieso habe ich am Ende eine andere Funktion p(t) ?
Ändere ich einfach durch die Umparametrisierung den Wertebereich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo EvelynSnowley2311,
> Umparametrisierung
> folgendes Beispiel:
>
> p(t) = ( sin(t), cos(t) ) ,t [mm]\in[/mm] [0, [mm]\pi/4[/mm] ]
>
> ist äquivalent zu
>
> q(t) = ( [mm]\bruch{t}{\wurzel{1+t^2}}[/mm] ,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+t^2}}[/mm] ) , t [mm]\in[/mm] [0,1]
>
>
> q(r(t)) = p(t)
> Umparametrisierung:
> r(t) : [0, [mm]\pi/4[/mm] ] [mm]\to[/mm] [0,1]
> p(t) = tan (t)
Dies muß wohl [mm] $\red r(t)=\tan [/mm] t$ heißen.
>
>
> Wieso sind p(t) und q(t) äquivalent? Beschreiben sie in
> ihrem Wertebereich die gleiche Kurve?
Die beiden Funktionen haben denselben Wertebereich oder besser, dasselbe Bild, aber unterschiedliche Definitionsbereiche, nämlich die Parameterintervalle [mm] $[0;\pi/4]$ [/mm] und $[0;1]$. Äquivalent sind sie, weil es eine bijektive, stetige Abbildung $r$ von einem Interval auf das andere gibt, so daß $q(r(t)) = p(t)$ für jedes [mm] $t\in [0;\pi/4]$ [/mm] gilt. Vielleicht solltest Du dies mal nachprüfen. Hierzu brauchst Du nicht viel mehr als [mm] $\tan [/mm] = [mm] \frac \sin \cos$ [/mm] und [mm] $\cos [/mm] > 0$ auf [mm] $[0;\pi/4]$.
[/mm]
> Und wieso habe ich am Ende eine andere Funktion p(t) ?
Das ist nur der Tipfehler!
> Ändere ich einfach durch die Umparametrisierung den
> Wertebereich?
Gerade nicht!
Gruß,
Wolfgang
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Huhu Helbig,
danke für die schnelle Antwort.
Also ist eine Umparametrisierung einer Funktion p(t) und q(t) möglich, wenn ich eine stetig diffb. Funktion r(t) finden kann, sodass (beispielsweise) die Komposition von q und r p ist. Kann man eine solche Funktion r immer finden? zu jeder gegebenen Funktion p und q?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo EvelynSnowley2311,
> Also ist eine Umparametrisierung einer Funktion p(t) und
> q(t) möglich, wenn ich eine stetig diffb. Funktion r(t)
> finden kann, sodass (beispielsweise) die Komposition von q
> und r p ist.
Es fehlt noch, daß $r$ bijektiv sein muß.
> Kann man eine solche Funktion r immer finden?
Nein. Sondern nur wenn $p$ und $q$ äquivalent sind. Insbesondere müssen beide dasselbe Bild haben. Nimm mal $p(t) = (t, t)$ mit dem Parameterinterval $[0,1]$ und $q(t)=(t,t)$ mit dem Parameterintervall $[2,3]$. Dann gibt es überhaupt kein $t$, so daß $p(r(t))=q(t)$, da ja die beiden Komponenten von $q(t)$ in $[2, 3]$ liegen, aber die beiden Komponenten von $p(r(t))$ in $[0;1]$-Egal wie $r$ aussieht. Wenn sich die Bilder von $q$ und $p$ unterscheiden, können sie nicht äquivalent sein.
Gruß,
Wolfgang
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ah jetzt wird mir einiges klar, danke dir für das tolle Beispiel!
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