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| Aufgabe | | Zerlegen Sie den Einheitsvektor i=(1,0,0) in Komponenten parallel und senkrecht zu dem Vektor a=(2,1,-1) |
Hallo, ich weiß wie man es die senkrechte Komponente erhält: Den Vektor a normieren: a(norm.)= [mm] \bruch{1}{3}(2,-1,2)
[/mm]
Dann die Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierung anwenden:
a(senkr.) = [mm] i-(i*a(norm.))*a(norm.)=\bruch{1}{9}(5,-2,4)
[/mm]
Bin mir nicht sicher wie die Formel für die parallele Komponente lautet. Kann sein dass sie wir für die senkrechte ist, nur anstatt zu subtrahieren, summiert man, also:
a(paral.) = i+(i*a(norm.))*a(norm.) ?
Danke
Gruss
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moin,
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] (und auch in vielen anderen Vektorräumen) ist eine Zerlegung eines Vektors auf diese Art eindeutig.
Das heißt möchtest du
$i = r*a + b$ für eine reelle Zahl $r$ und einen Vektor $b$ schreiben, der senkrecht auf $r$ steht, sind sowohl $b$ als auch $r$ eindeutig bestimmt.
Hast du nun $b$ so erhältst du also mit $ra = b-i$ deinen gesuchten parallelen Vektor.
lg
Schadow
PS: Wieso normierst du $a$?
GramSchmidt fordert keine Normierung und du erhältst hier auf die Art kein Vielfaches von $a$ in der Summe.
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Verstehe ich Dich richtig- meinst Du mit i mein Einheitsvektor, b der senkrechte und a der gesuchte parallele? was fange ich mit r an?
also ist der parallele mal irgendeine zahl r = [mm] \bruch{1}{9}(5,-2,4) [/mm] - (1,0,0) = [mm] \bruch{1}{9}(-1,-2,4)?
[/mm]
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Ich bleibe nach wie vor bei der Frage: Wieso normierst du $a$?
Das wird ja wohl einen Grund haben, wahrscheinlich hast du in einem Buch oder Skript einen entsprechenden Algorithmus gefunden.
Wenn ja dann steht dort auch wie du den anderen Vektor in diesem Fall ermittelst.
Wenn nein guck den Algorithmus nochmal ganz genau nach, ich nehme stark an dass dort keine Normierung gefordert wird; dann bekommst du nämlich auch deinen parallelen Vektor wie gewünscht.
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Hi,
das ist nur ein Teil von einer Aufgabe, die ich modifiziert habe, weil ich neugierig bin und was lernen will. In der Aufgabe, deren Lösung ich habe, wird nach der senkrechten Komponente gefragt. Ich war halt neugierig wie man die parallele Komponente auch noch dazu bestimmt. Gibts dafür ne Formel?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Fr 07.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht sag ich es mal andersrum:
die 2 Komponenten (senkrecht und parallel) ergeben als Summe den Vektor!
Zeichne das doch mal!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> moin,
>
> Im [mm]\IR^n[/mm] (und auch in vielen anderen Vektorräumen) ist
> eine Zerlegung eines Vektors auf diese Art eindeutig.
> Das heißt möchtest du
> [mm]i = r*a + b[/mm] für eine reelle Zahl [mm]r[/mm] und einen Vektor [mm]b[/mm]
> schreiben, der senkrecht auf [mm]r[/mm] steht, sind sowohl [mm]b[/mm] als
> auch [mm]r[/mm] eindeutig bestimmt.
> Hast du nun [mm]b[/mm] so erhältst du also mit [mm]ra = b-i[/mm] deinen
> gesuchten parallelen Vektor.
[mm] $$i=r*a+b\,$$
[/mm]
ist nicht gleichwertig zu
[mm] $$ra=b-i\,,$$
[/mm]
sondern zu
[mm] $$ra=i-b=-(b-i)\;.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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