Vektor senkrecht auf zwei V. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
| Aufgabe | | Gegeben sind zwei Vektoren a (2,1,-3) b(1,-2,1). gesucht wid ein Vektor c der Senkrecht auf beiden steht und den Betrag 5 hat. |
Ich hab mal angefanden das Kreuzprodukt von a und b zu machne, weil das ja der Vektor wäre der Senkrecht auf beiden steht.
Nur wei bekomme ich das jetzt hin das der Vektor c den betrag von 5 hat?
Die Gleichung dafür wäre ja:
5 = [mm] \wurzel{ c_{1}^{2}+ c_{2}^{2}+ c_{3}^{2}}
[/mm]
Weis einer weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Di 11.07.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Auric,
welchen Betrag hat der Vektor, den Du herausbekommen hast?
Wie kannst Du den verändern, so dass ein dazu kollinearer Vektor mit Betrag 5 rauskommt?
Alles klar? 
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Also der Vektor ist (-5,-5,-5) bzw wäre ja auch (5,5,5) möglich.
Wenn ich das Ausrechne bekomm ich 5 [mm] \wurzel{3},
[/mm]
muss ich dann schreiben
|c|= 5 [mm] \wurzel{3}, [/mm] dann durch [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \bruch{|c|}{\wurzel{3}} [/mm] = 5 ?
Also das dann c = [mm] (\bruch{5}{\wurzel{3}},\bruch{|c|}{\wurzel{3}},\bruch{|c|}{\wurzel{3}})?
[/mm]
Wenn ichs ausrechne bekomm ich 5 raus. Aber ich glaub mein Lösungsweg ist so ein bißchen aus der Luft gegriffen?
Ich hab gleich noch ne Frage, sry in Vektorrechnung bin ich net gerade gut,
Wenn ich diese 3 Vektoren habe:
a (1, [mm] \lambda,4), [/mm] b (-2,4.-1), c (-3,5,1)
wie muss ich dann [mm] \lambda [/mm] bestimmen das alle 3 in einer einer Ebene liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | ardik |
>
> Also das dann c =
> [mm](\bruch{5}{\wurzel{3}},\bruch{5}{\wurzel{3}},\bruch{5}{\wurzel{3}})?[/mm]
Die |c| in den Brüchen (in Deinem Original) waren sicherlich cut'n'paste-Fehler...
> Wenn ichs ausrechne bekomm ich 5 raus. Aber ich glaub mein
> Lösungsweg ist so ein bißchen aus der Luft gegriffen?
Nö. Völlig ok. Du hast den Vektor duch einen geeigneten Vorfaktor passend verkürzt.
Beispielsweise teilt man für die Hessesche Normaleform einen beliebigen erhaltenen Vektor durch seinen eigenen Betrag, um einen Normalenvektor der Länge 1 zu bekommen.
> Ich hab gleich noch ne Frage,
Für 'ne ganz neue Frage ist übrigens meist auch ein neuer Diskussionsfaden sinnvoll
> Wenn ich diese 3 Vektoren habe:
>
> a (1, [mm]\lambda,4),[/mm] b (-2,4.-1), c (-3,5,1)
> wie muss ich dann [mm]\lambda[/mm] bestimmen das alle 3 in einer
> einer Ebene liegen?
Anders ausgedrückt: Dies Vektoren müssen komplanar sein oder eben: Linear abhängig.
Meinst Du das? Oder sollen das drei Punkte sein, die in einer Ebene liegen sollen?
Ich nehm's mal wörtlich und gehe von drei Vektoren aus.
Also muss gelten:
[mm] $x_1*\vektor{1 \\ \lambda \\ 4}+x_2*\vektor{-2\\4\\-1}+ x_3*\vektor{-3\\5\\1}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
ohne dass alle x = 0 sind.
Also Gleichungssystem aufstellen und dann passendes [mm] \lambda [/mm] suchen.
Aber ich zweifle etwas, dass Du das meintest...?
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Mhh, ne ich glaube nicht das es das ist, die Aufgabe lautet einfach:
[mm] \lambda [/mm] so zu bestimmen das alle drei Vektoren a,b und c in einer Ebene liegen.
Wenn ich das was du hingeschrieben hast aufstelle. Dann würde ich doch ein LGS erhalten. [mm] \lambda [/mm] müsste ich dann für einen Definitiopnsbereich bestimmen. In der Lösung kommt aber genau 3.4 für [mm] \lambda [/mm] raus.
Ich hab mir gedacht, das ich einfach sagen kann, dass das Kreuzprodukt von z.b a x b ja einen Normalvektor der Ebene ergibt. a x c ebenfalls. Die beiden müssten doch dann Parallel sein, würde einem das nciht irgendwie weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 11.07.2006 | | Autor: | ardik |
> Ich hab mir gedacht, das ich einfach sagen kann, dass das
> Kreuzprodukt von z.b a x b ja einen Normalvektor der Ebene
> ergibt. a x c ebenfalls. Die beiden müssten doch dann
> Parallel sein, würde einem das nciht irgendwie
> weiterhelfen?
Ja klar, das müsste auch gehen. (Ich hatte eben an die / eine Standardmethode gedacht...)
Wenn ich keinen Denkfehler mache, müsstest Du mit $a [mm] \times [/mm] b = a [mm] \times [/mm] c$ eigentlich Erfolg haben.
Da kommt ja dann eine simple Gleichung mit [mm] $\lambda$ [/mm] raus...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Mh, also genau das hab ich auch schon aufgestellt und ausgerechnet, aber ich komm einfach nicht auf das richtige ergebnis. Ich komm immer auf 3 und nicht auf 3,4.
Der Ansatz müsste doch richtig sein.
Es gilt doch, wenn zwei Vektoren Parallel sind, sind sie gleich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 11.07.2006 | | Autor: | ardik |
> Es gilt doch, wenn zwei Vektoren Parallel sind, sind sie gleich.
Nein.
Wenn sie parallel sind und gleich lang sind und in die selbe Richtung zeigen, dann sind sie gleich.
Ich bekomme übrigens -3,4 raus (also negativ), allerdings auf anderem Wege, ähnlich meinem ersten Vorschlag, der unötig kompliziert war:
[mm] $\vektor{1 \\ \lambda \\ 4} [/mm] = [mm] x_1*\vektor{-2\\4\\-1}+ x_2*\vektor{-3\\5\\1}$ [/mm]
Aus der ersten und letzten Zeile ergibt sich ein harmloses LGS mit zwei Unbekannten. Deren Ergebnisse dann in die zweite Zeile eingesetzt ergibt [mm] \lambda.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Aha,
und in welchen bezug steht dies Gleichung dann zur Ebene?
Gibt es da irgendeine Allgemeine Form?
Sieht etwas wie die Normalform einer Ebengleichung aus.
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Hallo Auric!
ardik's Gleichung ist schlicht und ergreifend eine andere Form für den Ansatz der linearen Abhängigkeit.
> Gibt es da irgendeine Allgemeine Form?
Linear abhängig bedeutet ja, dass ich einen der Vektoren durch Skalarkombination der anderen beiden darstellen kann. Das hat ardik hier so angesetzt.
> Sieht etwas wie die Normalform einer Ebengleichung aus.
Naja, diese sieht dann doch etwas anders aus mit:
$E \ : \ [mm] \vec{n}*\left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right] [/mm] \ = \ 0$ bzw. $E \ : \ [mm] \vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{n}*\vec{p} [/mm] \ = \ d$
Gruß vom
Roadrunner
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