Vektor senkrecht auf die Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1}[/mm] [mm] b_2=\vektor{1\\2\\0}[/mm] [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2}[/mm]
Ersetzen Sie den Vektor b3 durch einen Vektor d3, der senkrecht auf der durch b1,b2 festgelegten Ebene steht. Die Basis b1,b2,d3 muss positiv orientiert sein. |
Hallo,
wie muss ich diese Aufgabe verstehen?
Ist damit gemeint das ein Vektor d3 auf die Ebene gestellt werden soll der die gleiche länge hat wie b3? Sozusagen einfach aufrichten? Aber welchen Ursprung hätte d3 dann auf der Ebene?
Bin etwas ratlos bei dieser Aufgabe.
Gruß Redenwirmaldarueber
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Hallo,
> [mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1}[/mm] [mm] b_2=\vektor{1\\2\\0}[/mm]
> [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2}[/mm]
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> Ersetzen Sie den Vektor b3 durch einen Vektor d3, der
> senkrecht auf der durch b1,b2 festgelegten Ebene steht. Die
> Basis b1,b2,d3 muss positiv orientiert sein.
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> Hallo,
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> wie muss ich diese Aufgabe verstehen?
>
> Ist damit gemeint das ein Vektor d3 auf die Ebene gestellt
> werden soll der die gleiche länge hat wie b3?
Wo nimmst du das mit der Länge her, davon ist nicht die Rede (abegesehen [mm] davon: \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b_2} [/mm] sind hja auch nicht gleich lang.
> Sozusagen einfach aufrichten? Aber welchen Ursprung hätte d3 dann
> auf der Ebene?
Ein Vektor im Anschauungsraum hat keinen 'Ursprung', da er keinen geometrischen Ort besitzt (mit Ausnahme sog. Ortsvektoren, aber das tut hier nichts zur Sache).
> Bin etwas ratlos bei dieser Aufgabe.
Es geht um eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Dazu müssen die drei Vektoren einfach linear unabhängig sein. Du findest einen geeigneten Vektor [mm] \vec{d_3} [/mm] am einfachsten über das Kreuzprodukt (wenn ihr das so eingeführt habt). Sonst über die entsprechende Determinante.
Gruß, Diophant
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>Hallo,
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> > [mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1}[/mm] [mm] b_2=\vektor{1\\2\\0}[/mm]
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> [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2}[/mm]
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> > Ersetzen Sie den Vektor b3 durch einen Vektor d3, der
> > senkrecht auf der durch b1,b2 festgelegten Ebene steht.
> Die
> > Basis b1,b2,d3 muss positiv orientiert sein.
> >
Die Aktuelle Basis b1,b2,b3 ist mit: det(b1,b2,b3) = -15 negativ Orientiert, oder?
> Es geht um eine Basis des [mm]\IR^3.[/mm] Dazu müssen die drei
> Vektoren einfach linear unabhängig sein. Du findest einen
> geeigneten Vektor [mm]\vec{d_3}[/mm] am einfachsten über das
> Kreuzprodukt (wenn ihr das so eingeführt habt). Sonst
> über die entsprechende Determinante.
Verstehe ich das richtig?
Das Kreuzprodukt aus b1 und b2.
Das wäre dann: [mm]d_1 = \vektor{-2 \\ 1 \\ -5}[/mm]
det(b1,b2,b3) = 30 uns somit auch Positiv Orientiert, oder?
Aber wie funktioniert es über die Determinate?
Gruß Redenwirmaldarueber
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Hallo,
> >Hallo,
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> > > [mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1}[/mm] [mm] b_2=\vektor{1\\2\\0}[/mm]
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> > [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2}[/mm]
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> > > Ersetzen Sie den Vektor b3 durch einen Vektor d3, der
> > > senkrecht auf der durch b1,b2 festgelegten Ebene
> steht.
> > Die
> > > Basis b1,b2,d3 muss positiv orientiert sein.
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> Die Aktuelle Basis b1,b2,b3 ist mit: det(b1,b2,b3) = -15
> negativ Orientiert, oder?
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> > Es geht um eine Basis des [mm]\IR^3.[/mm] Dazu müssen die drei
> > Vektoren einfach linear unabhängig sein. Du findest
> einen
> > geeigneten Vektor [mm]\vec{d_3}[/mm] am einfachsten über das
> > Kreuzprodukt (wenn ihr das so eingeführt habt). Sonst
> > über die entsprechende Determinante.
>
> Verstehe ich das richtig?
>
> Das Kreuzprodukt aus b1 und b2.
> Das wäre dann: [mm]d_1 = \vektor{-2 \\ 1 \\ -5}[/mm]
>
>
> det(b1,b2,b3) = 30 uns somit auch Positiv Orientiert,
> oder?
Ich habs jetzt nur bis zum Kreuzprodukt nachgerechnet (das passt). Aber der Witz am Kreuzprodukt ist ja gerade der, dass für
[mm] \vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}
[/mm]
die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind.
> Aber wie funktioniert es über die Determinate?
Man kann das Kreuzprodukts als 'Determinante'
[mm]\vec{a}\times\vec{b}=det\pmat{ \vec{e}_1 & a_1 & b_1 \\ \vec{e}_2 & a_2 & b_2 \\ \vec{e}_3 & a_3 & b_3 } [/mm]
darstellen. Manchmal kennen Studenten das nur so (wenn es nicht in der Schule behandelt wurde). Daher habe ich es zur Sicherheilt erwähnt.
Gruß, Diophant
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