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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 12.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Zwei Ebenen in [mm] \IR^3 [/mm] können nicht orthogonal sein. Finden Sie einen Vektor v [mm] \not= [/mm] 0, der sowohl in C(A) als auch in C(B) liegt, wobei A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} [/mm] und B = [mm] \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 6 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} [/mm] ist.
Tipp: Betrachte die Matrix [mm] \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} [/mm] und deren Nullraum. |
Hallo,
ich habe nun als Erstes die Matrix [mm] \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} [/mm] aufgestellt und dazu den Nullraum bestimmt.
Dies sieht dann so aus:
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Daraus ergibt sich als Nullraum für AB, N(A,B) = [mm] \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Ich habe nun einfach die ersten beiden Komponenten des Nullraums auf A angewandt, und die unteren beiden auf B, hierbei erhalte ich folgendes:
A: -3 [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] -1 [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} -5 \\ -6 \\ -5 \end{bmatrix}
[/mm]
B: 1 [mm] \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix} [/mm] + 0 [mm] \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix}
[/mm]
Somit würde doch der Vektor v = [mm] \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix} [/mm] in beiden Spaltenräumen von A und B liegen?
Jedoch verstehe ich bei der Fragestellung nicht so ganz den Zusammenhang zwischen:
"Zwei Ebenen in [mm] \IR^3 [/mm] können nicht orthogonal sein" und "Finden Sie einen Vektor v [mm] \not= [/mm] 0, der sowohl in C(A) als auch in C(B) liegt ..."
Wo liegt da der Zusammenhang? Was hat A und B in Bezug auf die Ebenen für eine tiefere Bedeutung?
Gruß
itse
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> Zwei Ebenen in [mm]\IR^3[/mm] können nicht orthogonal sein.
Hallo,
ich glaube, das ist ein Irrläufer.
Die Aussage stimmt ja auch nicht, wenn man bloß mal an die Koordinatenebenen denkt.
Die Aufgabe hat insofern was mit Ebenen zu tun, als daß die Spaltenräume ja Ebenen durch den Ursprung sind, nämlich die Ebenen, die jeweils durch die beiden Vektoren aufgespannt werden.
Gesucht ist nun ein Element des Schnittes, was Du richtig gefunden hast.
Gruß v. Angela
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