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| Aufgabe | Gegeben sei der Vektor b = (0, 1, [mm] 1)^{T} [/mm] . Bestimmen Sie alle Vektoren c der Länge 5, die mit
dem Vektor a = (1, 0, 0)T den Winkel [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
einschliessen, so dass das durch c und b aufgespannte Parallelogramm einen Flächeninhalt von 5 hat. |
Hallo Leute!
Ich habe diese Aufgabe so gelöst:
Ich habe 2 Bedingungen:
->Mit dem Skalarprodukt [mm] \vec{a}*\vec{c}
[/mm]
(1) [mm] \vektor{1\\ 0\\ 0}*\vektor{c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3}}=1*5*\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Hier erhalte ich für [mm] c_{1}=\bruch{5\wurzel{2}}{2}, [/mm]
->Mit dem Vektorprodukt [mm] |\vec{b}\times\vec{c}|
[/mm]
[mm] (2)|\vektor{0\\ 1\\ 1}\times\vektor{c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3}}|=5
[/mm]
[mm] \wurzel{(c_{3}-c_{2})^{2}+2}=5 [/mm]
und als Ergebnis [mm] |c_{3}-c_{2}|=23
[/mm]
Lösungssatz:
alles Vektoren [mm] \vec{c} [/mm] mit [mm] c_{1}=\bruch{5\wurzel{2}}{2} [/mm] und mit [mm] |c_{3}-c_{2}|=23 [/mm] erfüllen die in der Aufgabenstelleung formulierte Bedingungen.
Ist die Aufgabe so richtig gelöst und die Lösung richtig formuliert?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Do 25.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei der Vektor b = (0, 1, [mm]1)^{T}[/mm] . Bestimmen Sie
> alle Vektoren c der Länge 5, die mit
> dem Vektor a = (1, 0, 0)T den Winkel [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
> einschliessen, so dass das durch c und b aufgespannte
> Parallelogramm einen Flächeninhalt von 5 hat.
>
> Hallo Leute!
>
> Ich habe diese Aufgabe so gelöst:
>
> Ich habe 2 Bedingungen:
Sogar drei. Und damit kannst du den Vektor [mm] \vec{c}=\vektor{c_{1}\\c_{2}\\c_{3}} [/mm] sogar eindeutig bestimmen.
>
> ->Mit dem Skalarprodukt [mm]\vec{a}*\vec{c}[/mm]
>
> (1) [mm]\vektor{1\\
0\\
0}*\vektor{c_{1}\\
c_{2}\\
c_{3}}=1*5*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Hier erhalte ich für [mm]c_{1}=\bruch{5\wurzel{2}}{2},[/mm]
Daumenhoch.
Jetzt weisst du, dass
[mm] \vec{c}=\vektor{\bruch{5\wurzel{2}}{2}\\c_{2}\\c_{3}}
[/mm]
Jetzt beachte die Länge, daraus folgt:
[mm] 5=\wurzel{12,5+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}
[/mm]
>
> ->Mit dem Vektorprodukt [mm]|\vec{b}\times\vec{c}|[/mm]
>
> [mm](2)|\vektor{0\\
1\\
1}\times\vektor{c_{1}\\
c_{2}\\
c_{3}}|=5[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(c_{3}-c_{2})^{2}+\red{2}}=5[/mm]
Wie kommst du auf die rote 2? Ich habe da einen anderen Wert. Der Weg ist aber korrekt.
> und als Ergebnis [mm]|c_{3}-c_{2}|=23[/mm]
>
> Lösungssatz:
> alles Vektoren [mm]\vec{c}[/mm] mit [mm]c_{1}=\bruch{5\wurzel{2}}{2}[/mm]
> und mit [mm]|c_{3}-c_{2}|=23[/mm] erfüllen die in der
> Aufgabenstelleung formulierte Bedingungen.
>
> Ist die Aufgabe so richtig gelöst und die Lösung richtig
> formuliert?
Fast, beachte, dass du einerseits [mm] 5=\wurzel{12,5+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}} [/mm] und andererseits [mm] $|c_{3}-c_{2}|=23$ [/mm] als Forderungen an [mm] c_{2} [/mm] und [mm] c_{3} [/mm] stellst, du kannst also diese beiden Komponeten eindeutg bestimmen.
>
> Gruß
>
>
Marius
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danke!
Mit dem richtigen Wert, habe ich für meine 2te Bedingung folgendes raus:
[mm] |\vektor{ 0\\ 1\\ 1} \times \vektor{ 5\wurzel{2}\\ c_{2}\\ c_{3}}|=5
[/mm]
[mm] \wurzel{(c_{3}-c_{2})^{2}+5\wurzel{2}}=5
[/mm]
[mm] |c_{3}-c_{2}|=5-5\wurzel{2}
[/mm]
eine Mögliche Lösung wäre dann für [mm] c_{3}=5 [/mm] und für [mm] c_{2}=5\wurzel{2}.
[/mm]
Ich soll in der Lösung alle Vektoren [mm] \vec{c} [/mm] für diese Bedingungen bestimmen.
Wäre dann die richtige Lösung [mm] \vec{c}= \lambda [/mm] * [mm] \vektor{ 5\wurzel{2}\\ 5\wurzel{2}\\ 5}?
[/mm]
Gruß
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Hallo, du hattest doch [mm] c_1=\bruch{5}{2}\wurzel{2}=\bruch{5}{\wurzel{2}}, [/mm] jetzt überprüfe
[mm] |\vektor{ 0\\ 1\\ 1} \times \vektor{\bruch{5}{\wurzel{2}} \\ c_{2}\\ c_{3}}|=|\vektor{c_3-c_2 \\ \bruch{5}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{5}{\wurzel{2}}}|=5
[/mm]
[mm] \wurzel{(c_3-c_2)^{2}+\bruch{25}{2}+\bruch{25}{2}}=5
[/mm]
Steffi
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danke!
Hab als Ergebnis:
[mm] (c_{3}-c_{2})^{2}+25=5
[/mm]
[mm] c_{3}^{2}-2c_{2}c_{3}+c_{2}^{2}=-20
[/mm]
Wie könnte ich das nun als Lösung interpretieren. Ich weiß nicht wie mein Lösungssatz mit dem Ergebnis nun auszusehen hat.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Di 30.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich hatte dir doch hier die drei Bedingungen gegeben, löse also folgendes Gleichungssystem:
[mm] $\vmat{c_{1}=\bruch{5\wurzel{2}}{2}\\5=\wurzel{12,5+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}\\|c_{3}-c_{2}|=23}$ [/mm]
Löse dieses, und du bekommst einen (oder mehrere, ich habe es nicht nachgerechnet) konkreten Vektor(en).
Marius
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