Vektor bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 17.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | 2.
Ein Kreis mit dem Radius R rolle gleich-förmig auf einer Geraden. Zum Zeitpunkt t=0 berührt der Kreis im Punkt P die Gerade. Ein ganzer Umlauf ist nach [mm] t=2*\pi= [/mm] absolviert.
a)
Geben Sie den Ortsvektor r(t) des Punktes P an. (Hinweis: Stellen sie zunächst den Ortsvektor des Kreismittelpunktes auf! Der Ursprung des Koordinatensystems wird zweckmäßigerweise in den Punkt P zum Zeitpunkt t=0 gelegt.)
b)
Bestimmen Sie die Länge des Weges, den P während eines ganzen Umlaufs zurücklegt! |
Kann mir bitte jemand helfen.
Der Kreismittelpunkt wir doch so beschrieben. [mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}
[/mm]
Abrer wie komme ich jetzt auf Punkt P
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 2.
> Ein Kreis mit dem Radius R rolle gleich-förmig auf einer
> Geraden. Zum Zeitpunkt t=0 berührt der Kreis im Punkt P
> die Gerade. Ein ganzer Umlauf ist nach [mm]t=2*\pi=[/mm]
> absolviert.
> a)
> Geben Sie den Ortsvektor r(t) des Punktes P an. (Hinweis:
> Stellen sie zunächst den Ortsvektor des
> Kreismittelpunktes auf! Der Ursprung des Koordinatensystems
> wird zweckmäßigerweise in den Punkt P zum Zeitpunkt t=0
> gelegt.)
> b)
> Bestimmen Sie die Länge des Weges, den P während eines
> ganzen Umlaufs zurücklegt!
> Kann mir bitte jemand helfen.
> Der Kreismittelpunkt wir doch so beschrieben. [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Abrer wie komme ich jetzt auf Punkt P
Wenn du den Nullpunkt des Koordinatensystems in den Kreismittelpunkt legst, wie würdest du dann den Punkt P beschreiben? Setze beide Vektoren zusammen!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 17.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok, da es ein Kreis ist:
[mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*cos\alpha\\R*sin\alpha} [/mm]
Kann das sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, da es ein Kreis ist:
>
> [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*cos\alpha\\R*sin\alpha}[/mm]
>
> Kann das sein
Im Prinzip ja.
Zunächst ist das nicht [mm] $r_m$, [/mm] denn wir reden ja vom Punkt P, nicht vom Mittelpunkt - das nur, damit es zu keinem Durcheinander bei den Bezeichnungen kommt.
Du musst noch deinen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] mit der Bewegung, also mit der Zeit in Verbindung bringen. Wie hängt [mm] $\alpha$ [/mm] von $t$ ab? Beachte dabei, in welche Richtung sich der Punkt P bewegt: im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 18.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Also [mm] \alpha [/mm] ist abhängig von t, ich könnte also einfach sagen:
[mm] \vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}cost\\-R\cdot{}sint} [/mm] vom Mittelpunkt aus gesehen
und jetzt muss ich die beiden Vektoren addieren, oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 So 18.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also [mm]\alpha[/mm] ist abhängig von t, ich könnte also einfach
> sagen:
>
> [mm]\vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}cost\\-R\cdot{}sint}[/mm] vom
> Mittelpunkt aus gesehen
Stimmt noch nicht ganz, denn zum Zeitpunkt t=0 muss der Punkt P relativ zum Mittelpunkt die Koordinaten
[mm] \vektor{0\\-R} [/mm]
haben, mit deinem Ansatz kommt aber [mm] $\vektor{-R\\0}$ [/mm] heraus. Du muss noch um [mm] $\pi/2$ [/mm] weiterdrehen.
> und jetzt muss ich die beiden Vektoren addieren, oder ?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 18.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Wenn ich um 180° Drehe schreib ich das doch einfach so:
[mm] \vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}sint\\-R\cdot{}cost}
[/mm]
addiert mit
[mm] \vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}
[/mm]
währe dann
[mm] \vec r(t)=R*\vektor{t-sint\\1-cost}
[/mm]
Aber kannst du it nochmal genau sagen warum ich um [mm] 2\pi [/mm] drehen muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 18.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich um 180° Drehe schreib ich das doch einfach so:
Du meinst um [mm] $90^\circ$, [/mm] denn [mm] $\pi/2$ [/mm] entsprechen [mm] $90^\circ$.
[/mm]
>
> [mm]\vec r_p(t)=\vektor{-R\cdot{}sint\\-R\cdot{}cost}[/mm]
Ja, jetzt dreht sich dein Punkt P im Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt.
>
> addiert mit
>
> [mm]\vec r_m(t)=\vektor{R*t\\R}[/mm]
>
> währe dann
> [mm]\vec r(t)=R*\vektor{t-sint\\1-cost}[/mm]
> Aber kannst du it nochmal genau sagen warum ich um [mm]2\pi[/mm]
> drehen muss.
Ich verstehe gerade die Frage nicht, meinst du [mm] $\pi/2$?
[/mm]
Nimm dir deine ursprüngliche Formel und setze t=0 ein: wo befindet sich nach deiner Formel der Punkt P relativ zum Kreismittelpunkt?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
