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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 07.03.2008 | | Autor: | brichun |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren a=(2,1,-3) b=(1,-2,1).
Man berechne einen Vektor c mit [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 der senkrecht auf a und b steht. |
ich hab das so versucht
1) c=(x,y,z) --> 3unbekannte also brauch ich 3 Gleichungen.
2) Aufstellen der Gleichungen:
A: a * c =0 --> 2x+y-3z=0
B: b * c =0 --> x-2y+ z =0
C: [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 -->
[mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]=5
jetzt hab ich die Gleichung C quadriert um die Wurzel zu eliminieren.
[mm]x^2+y^2+z^2[/mm]=25
wie geht es jetzt weiter wenn ich die Gleichung A in B einsetze und danach in c hab ich immer noch 1 unbekannte zu viel. Wenn die Gleichung C nicht quadriert wäre könnte man das Ganze mit dem LGS lösen.
Danke für euren support
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, brichun,
> Gegeben sind die Vektoren a=(2,1,-3) b=(1,-2,1).
> Man berechne einen Vektor c mit [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 der
> senkrecht auf a und b steht.
> ich hab das so versucht
>
> 1) c=(x,y,z) --> 3unbekannte also brauch ich 3
> Gleichungen.
>
> 2) Aufstellen der Gleichungen:
>
> A: a * c =0 --> 2x+y-3z=0
> B: b * c =0 --> x-2y+ z =0
> C: [mm]\left| c \right|[/mm] = 5 -->
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]=5
>
>
> jetzt hab ich die Gleichung C quadriert um die Wurzel zu
> eliminieren.
>
> [mm]x^2+y^2+z^2[/mm]=25
>
> wie geht es jetzt weiter wenn ich die Gleichung A in B
> einsetze und danach in c hab ich immer noch 1 unbekannte zu
> viel.
Also: Ich würde die Länge des gesuchten Vektors erst ganz am Schluss in die Rechnung einbeziehen!
Will heißen: Rechne erst mal IRGENDEINEN Vektor aus, der auf den beiden gegebenen senkrecht steht und bringe ihn dann auf die gewünschte Länge!
Nimm' also nur die beiden Gleichungen
2x+y-3z=0 und x-2y+ z =0,
setze z.B. x=1 und berechne dann y und z.
Ich nehm's vorweg: Der Vektor, den Du so rauskriegst, hat die Länge [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
Du musst ihn nun - um auf die gewünschte Länge zu kommen - durch [mm] \wurzel{3} [/mm] dividieren und dann mit 5 multiplizieren.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Fr 07.03.2008 | | Autor: | brichun |
Danke es hat geklappt ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
Darf ich Dir einen alternativen Lösungsvorschlag anbieten?
Berechne das Vektorprodukt der beiden Vektoren:
[mm] \vec{a} \times \vec{b}= \begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}:=\vec{c}
[/mm]
:= bedeutet, wir definieren den neuen Vektor als Vektor c.
c steht senkrecht auf der von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] augespannten Ebene.
Nun normierst du c, d.h. du bringt ihn auf Länge 1, indem du ihn durch seine eigene Länge teilst:
[mm] \bruch{\vec{c}}{|\vec{c}|}
[/mm]
Jetzt hast du einen Vektor der länge 1 mit gewünschter Richtung vorliegen, diesen musste du nur noch mit 5 multiplizieren.
Gruß,
Rutzel
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