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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Do 15.09.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Bestimme alle Vektoren, die zum Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] senkrecht stehen und mit dem Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] einen 60°-Winkel bilden. |
Hallo zusammen,
der gesuchte Vektor sei [mm] \vektor{x \\ y \\ z}.
[/mm]
Aus der ersten Bedingung folgt gemäß Skalarprodukt x - y - z = 0.
Wie gehe ich jedoch mit der 60°-Bedingung um ?
Gemäß der Winkelformel hätte ich: [mm] cos60°=\bruch{x+y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}\wurzel{2}}.
[/mm]
cos60° ist 0,5.
Wie aber löse ich nun das Gleichungssystem mit der Wurzel ?
Ich habe mir zuerst gedacht, dass man vereinfacht annehmen kann, dass der gesuchte Vektor ein Einheitsvektor ist (und damit die Wurzel = 1 wird), aber zum einen suche ich ja alle Vektoren (und nicht nur Einheitsvektoren) und zum anderen muss ich ja diese Einheitsvektorbedingung dann trotzdem in dem LGS irgendwie wieder einbauen.
Vielen Dank im voraus für eure Hinweise.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Bestimme alle Vektoren, die zum Vektor [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> senkrecht stehen und mit dem Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> einen 60°-Winkel bilden.
> Hallo zusammen,
>
> der gesuchte Vektor sei [mm]\vektor{x \\ y \\ z}.[/mm]
> Aus der
> ersten Bedingung folgt gemäß Skalarprodukt x - y - z =
> 0.
>
> Wie gehe ich jedoch mit der 60°-Bedingung um ?
> Gemäß der Winkelformel hätte ich:
> [mm]cos60°=\bruch{x+y}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}\wurzel{2}}.[/mm]
> cos60° ist 0,5.
> Wie aber löse ich nun das Gleichungssystem mit der Wurzel
> ?
du hast doch x-y-z=0 also auch x=y+z
das setzt du nun in die winkelformel ein und rechnest ein wenig herum, am ende bekommst du 2 lösungen
> Ich habe mir zuerst gedacht, dass man vereinfacht annehmen
> kann, dass der gesuchte Vektor ein Einheitsvektor ist (und
> damit die Wurzel = 1 wird), aber zum einen suche ich ja
> alle Vektoren (und nicht nur Einheitsvektoren) und zum
> anderen muss ich ja diese Einheitsvektorbedingung dann
> trotzdem in dem LGS irgendwie wieder einbauen.
>
> Vielen Dank im voraus für eure Hinweise.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
gruß te
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:06 Fr 16.09.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo fencheltee,
wenn ich x = y+z (Gleichung (*)) in den Zähler und Nenner der Winkelformel einsetze, erhalte ich:
0,5 = [mm] \bruch{2y+z}{\wurzel{2y^2+2yz+2z^2}\wurzel{2}}
[/mm]
und daraus, wenn man im Nenner die Wurzeln zusammenfasst und dann mit 2 durchmultipliziert:
1 = [mm] \bruch{2y+z}{\wurzel{y^2+yz+z^2}} [/mm] (Gleichung (**))
Wie bekomme ich jetzt 2 Lösungen aus Gleichung (*) und (**) ?
Ich habe 2 Gleichungen mit 3 Variablen, gibt das nicht unendlich viele Lösungen ? (was ja auch anschaulich logisch wäre, da der Vektor ja eine beliebige Länge haben kann)
Viele Grüße
Rubi
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Aufgabe
Bestimme alle Vektoren, die zum Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] $ senkrecht stehen und mit dem Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ einen 60°-Winkel bilden.
Hallo,
ich würde zunächst einmal sämtliche Einheitsvektoren berechnen, auf welche die Bedingungen zutreffen.
Du hast völlig recht damit, daß es, sofern man beliebige Länge zuläßt, unendlich viele Lösungen gibt.
Beschränkst Du Dich auf Einheitsvektoren, bekommst Du die drei Gleichungen
x-y-z=0
[mm] x+y=\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] x^2+y^2+z^2=1,
[/mm]
und ich denke, daß Du dies gelöst bekommst.
Gruß v. Angela
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