Vektor- und Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 24.06.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | a = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] b = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] c = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Finde das Volumen des Spats. |
Hi Mathefreunde,
Das Volumen ist definiert mit V = | (a x b) * c |
also Vektorprodukt von a und b und Skalarprodukt mit c.
Für das Vektorprodukt a x b habe ich die übliche Formel benutzt (Komponentweise Berechnung) und komme auf:
(a x b) = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = soll der neue Vektor d sein
Für das anschließende Skalarprodukt mit c gibt es ebenfalls eine Formel:
c * d = c1 * d1 + c2 * d2 + c3 * d3
Damit komme ich bei:
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = -1*0 + 1*1 + (-1)*1 = 0
Herauskommen muss aber ein Volumen von 1, was ich auch durch die Formel:
[mm] \bruch{1}{2}*(|c|^2+|d|^2-|c-d|^2) [/mm] nachweisen kann.
Wo ist der Fehler?
Ich danke euch für jede Hilfe...
Gruß, Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 So 24.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Andreas,
die Vektoren sind komplanar, das heißt, sie spannen kein Volumen auf und liegen somit in einer Ebene. Dies weißt man gerade damit nach, dass das Spatprodukt = 0 ist. In die von dir angegebene Formel eingesetzt, erhalte ich übrigens ebenfalls ein Volumen von 0.
Lieben Gruß,
Dirk
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 So 24.06.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Dirk, danke für deinen Post, ich sehe gerade, ich hatte bei:
[mm] \bruch{1}{2}*(|c|^2+|d|^2-|c-d|^2) [/mm] einen Fehler.
Hier komme ich durch:
[mm] \bruch{1}{2}*(2+3-5) [/mm] = 0
jetzt ebenfalls auf Null --> ist also tatsächlich richtig, dass die drei Vektoren kein Volumen aufspannen, also komplanar sind.
Vielen Dank nochmal und viele Grüße,
Andreas
|
|
|
|
