Vectordarstell. in and. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Di 11.07.2006 | | Autor: | Paddi |
| Aufgabe | Geg.: b1=(1 1 [mm] 0)^t, [/mm] b2 = (-1 1 [mm] 0)^t [/mm] , b3 = (0 0 [mm] 1)^t
[/mm]
Vector x = (3 1 [mm] 3)^t
[/mm]
Die Vectoren b1, b2, b3 stellen eine Basis im R³ dar.
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Ich möchte den Vector x in dieser Basis mit Hilfe des Gauß - Algorithmus darstellen. Mit dem Gauß kenne ich mich aus, jedoch leider weiß ich nicht wie ich diesen auf diese Problematik anwenden kann.
Wie man den Vector in dieser Basis mit Hilfe des Scalarprodukts oder einer transponierten Matrix darstellt weiß ich.
Vielleicht hat ja jemand einen Lösungsvorschlag.
Schon mal vielen dank.
Gruß
Paddi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Paddy,
wenn Du die "neuen" Koordinaten des Vektors x mit a, b und c bezeichnest, dann gilt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Naja: Und nun musst Du halt a, b und c mit Hilfe des Gauß-Verfahrens ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Paddi |
hallo,
schon mal danke für die schnelle Antwort.
Ich habe das mal ausprobiert. Diese Darstellung trifft jedoch so weit ich das erkennen kann nicht auf dieses Problem zu. Wenn ich so den Gauß anwende, dann stelle ich den Vector X doch bereits als Zielvector im Gleichungssystem dar. Wenn für dieses System der Gauß ausgeführt wird, wird ein Vector errechnet der x in seiner bisherigen Form herleitet. Jedoch nicht in der Basis b1b2b3.
[b1b2b3 * a = x]
(Bei Berechnung mit Gauß wird ja "a" berechnet)
Bei der Berechnung mit Skalarprodukt und der Multiplikation mit transponierter Matrix habe ich folgenden Vector errechnet: X2 = (4 -2 3)
Dieses Ergebnis habe ich schon mit dem von anderen Studenten verglichen. Die hatte das gleiche raus.
Leider stehen wir was die Geschichte mit den Gauß angeht auf dem Schlauch.
Vielleicht weiß ja noch jemand weiter.
Gruß
Paddi
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Hi, paddy,
fang' ich mal von hinten an:
Der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] hat bezüglich der Basis
e1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] e2 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] e3 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] die Koordinaten [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Das heißt doch ausführlich geschrieben:
[mm] \vec{x} [/mm] = 3*e1 + 1*e2 + 1*e3.
Und nun sollst Du analog die Darstellung von [mm] \vec{x} [/mm] bezüglich der neuen Basis suchen, also:
[mm] \vec{x} [/mm] = a*b1 + b*b2 + c*b3
a, b und c sind keine kartesischen Koordinaten, sondern - so hat man's früher genannt - "Komponenten" bezüglich der neuen Basis [mm] \{ b1; b2; b3 \}. [/mm]
Daher hat's auch keinen Sinn, am Ende als Lösung einfach einen Vektor
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] zu schreiben!
Das Ergebnis ist: [mm] \vec{x} [/mm] = 2*b1 - 1*b2 + 1*b3
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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