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| Aufgabe | E(u(x,y),v(x,y)) = [mm] \integral{\mu(u_{x}^2 + u_{y}^2 + v_{x}^2 + v_{y}^2) + |\nabla f|^{2}((u - f_{x})^{2} + (v - f_{y})^{2})dx}
[/mm]
Dieses Funktional soll minimiert werden. Man stelle die PDGLs zur Lösung dieses Problems auf |
Ich habe versucht in meine Diplomarbeit die PDGL umzugehen, aber so ganz ohne hat es nicht geklappt. Nun geht es um ein Segmentierungsverfahren. Für die bestimmug der Erssatzkraft, muss die Minimalstelle des obigen Funktionals gefunden werden.
Das Funktional E ist konvex, was leicht zu zeigen ist. Daraus folgt, dass die notwendige Bedingung(erste Variation gleich Null) zur hinreichenden Bedingung wird. Bastellt man für diesen Fall die Euler-Lagrange-Gleichung, so kommt man auf die Form:
[mm] \bruch{\partial\Phi}{\partial u} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial\Phi}{\partial u_{x}} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dy}\bruch{\partial\Phi}{\partial u_{y}} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial\Phi}{\partial v} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{\partial\Phi}{\partial v_{x}} [/mm] - [mm] \bruch{d}{dy}\bruch{\partial\Phi}{\partial v_{y}} [/mm] = 0
und letztendlich auf die entkoppelten Gleichungen:
[mm] \mu\nabla^{2}u [/mm] - (u - [mm] f_{x})(f_{x}^{2} [/mm] + [mm] f_{y}^{2}) [/mm] = 0
[mm] \mu\nabla^{2}v [/mm] - (v - [mm] f_{y})(f_{x}^{2} [/mm] + [mm] f_{y}^{2}) [/mm] = 0
Die Entwickler des Verfahrens stellen in ihrem Paper
eine PDGL mit Neumann Bedingungen auf und zeigen, dass die Lösung davon gerade eine Nullstelle der ersten Variation ist. (Dabei nehmen sie komischerweise den [mm] W^{2} [/mm] Raum, obwohl da meiner Meinung der [mm] W^{1} [/mm] reichen würde). Ich verstehe zwar, dass die Lösung der PDGL mit Neumannrändern bei in denen im Paper tatsächlich eine Nullstelle der Variarion ist, aber wie man von Anfang an darauf kommt?!
Hier ist der Paper : http://www.iacl.ece.jhu.edu/~chenyang/research/pubs/p125c.pdf (Proposition 3)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 30.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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