Variationsrechnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Floyd |
Hallo,
ich hätte eine Frage bzgl der folgenden Energiefunktion:
geg.:
E = [mm] \integral \integral {\alpha^2 E_c^2 + E_b^2 dx dy}
[/mm]
wobei:
[mm] E_b [/mm] = [mm] E_xu+E_yv+E_t
[/mm]
[mm] E_c^2 [/mm] = [mm] (\bruch{\partial u}{\partial x})^2+(\bruch{\partial u}{\partial y})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{\partial v}{\partial x})^2+(\bruch{\partial v}{\partial y})^2 [/mm] = [mm] \nabla^2u [/mm] + [mm] \nabla^2v
[/mm]
Kann mir hier jemand erklären wie man ausgehend von diesem System unter der Verwendung der Variationsrechnung und Euler Lagrange Gleichung zu dem folgenden Ergebnis kommt?
[mm] E_x^2u+E_xE_yv [/mm] = [mm] \alpha^2 \nabla^2u [/mm] - [mm] E_xE_t
[/mm]
[mm] E_xE_yu+E_y^2v [/mm] = [mm] \alpha^2 \nabla^2v [/mm] - [mm] E_yE_t
[/mm]
Besten Dank im Voraus!
Mfg Floyd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Floyd!
> ich hätte eine Frage bzgl der folgenden Energiefunktion:
>
> geg.:
> [mm]E = \integral \integral {\alpha^2 E_c^2 + E_b^2 dx dy}[/mm]
>
> wobei:
> [mm]E_b = E_xu+E_yv+E_t[/mm]
> [mm]E_c^2 = (\bruch{\partial u}{\partial x})^2+(\bruch{\partial u}{\partial y})^2 + (\bruch{\partial v}{\partial x})^2+(\bruch{\partial v}{\partial y})^2[/mm]
> [mm]= \nabla^2u + \nabla^2v[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht, das wären zweite Ableitungen [mm] ($\nabla^2=\Delta$). [/mm] Du meinst
[mm] = \left(\nabla u\right)^2 + \left(\nabla v)^2 [/mm]
>
> Kann mir hier jemand erklären wie man ausgehend von diesem
> System unter der Verwendung der Variationsrechnung und
> Euler Lagrange Gleichung zu dem folgenden Ergebnis kommt?
>
> [mm]E_x^2u+E_xE_yv[/mm] = [mm]\alpha^2 \nabla^2u[/mm] - [mm]E_xE_t[/mm]
> [mm]E_xE_yu+E_y^2v[/mm] = [mm]\alpha^2 \nabla^2v[/mm] - [mm]E_yE_t[/mm]
[mm] $E_b$ [/mm] hängt nur von u und v ab, [mm] $E_c$ [/mm] nur von deren partiellen Ableitungen, daher sind die Euler-Lagrange-Gleichungen:
[mm] \bruch{\partial E_b^2}{\partial u} = \alpha^2 \left(\bruch{d}{dx} \bruch{\partial E_c^2}{\partial u_x} + \bruch{d}{dy} \bruch{\partial E_c^2}{\partial u_y} \right)[/mm]
(Analog für v:
[mm] \bruch{\partial E_b^2}{\partial v} = \alpha^2 \left(\bruch{d}{dx} \bruch{\partial E_c^2}{\partial v_x} + \bruch{d}{dy} \bruch{\partial E_c^2}{\partial v_y} \right)[/mm]
)
Die linke Seite ist
[mm] \bruch{\partial E_b^2}{\partial u} = 2E_b * E_x [/mm],
und die rechte kann abgekürzt werden durch
[mm] \alpha^2 \nabla \bruch{\partial E_c^2}{\nabla u} = \alpha^2 \nabla \nabla u = \alpha^2 \nabla^2 u[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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