Variationslemma < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:13 Fr 02.07.2010 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | (a) Sei $u [mm] \in \mathcal{L}^2(I)$ [/mm] für $I [mm] \subset \mathbb{R}$, [/mm] $I$ offen. Es gelte für alle [mm] $\phi\in\mathcal{C}_0^{\infty}(I)$
[/mm]
[mm] \[\int_I u(x)\phi(x)dx=0\]
[/mm]
Zu zeigen: $u=0$ fast überall in $I$
(b) Für [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] sei die Funktion [mm] $u\in\mathcal{L}^2(I)$ [/mm] $k$-mal schwach differenzierbar. Seien [mm] $u_k$ [/mm] und [mm] $\bar{u}_k$ [/mm] schwache Ableitungen $k$-ter Ordnung. Zeige, dass [mm] $u_k=\bar{u}_k$ [/mm] fast überall in $I$. |
Wer kann mir beim Beweisen helfen?
Viele Grüße.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> (a) Sei [mm]u \in \mathcal{L}^2(I)[/mm] für [mm]I \subset \mathbb{R}[/mm],
> [mm]I[/mm] offen. Es gelte für alle
> [mm]\phi\in\mathcal{C}_0^{\infty}(I)[/mm]
>
> [mm]\[\int_I u(x)\phi(x)dx=0\][/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]u=0[/mm] fast überall in [mm]I[/mm]
>
> (b) Für [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] sei die Funktion
> [mm]u\in\mathcal{L}^2(I)[/mm] [mm]k[/mm]-mal schwach differenzierbar. Seien
> [mm]u_k[/mm] und [mm]\bar{u}_k[/mm] schwache Ableitungen [mm]k[/mm]-ter Ordnung.
> Zeige, dass [mm]u_k=\bar{u}_k[/mm] fast überall in [mm]I[/mm].
> Wer kann mir beim Beweisen helfen?
neulich hab ich meinem Nachbarn bein Holzhacken und - sägen geholfen. Dieser Nachbar stand nicht nur rum und hat mir zugeschaut. Nein ! Er hat selbst auch was getan ! Erstaunlich , gell ?
FREd
> Viele Grüße.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> (a) Sei [mm]u \in \mathcal{L}^2(I)[/mm] für [mm]I \subset \mathbb{R}[/mm],
> [mm]I[/mm] offen. Es gelte für alle
> [mm]\phi\in\mathcal{C}_0^{\infty}(I)[/mm]
>
> [mm]\[\int_I u(x)\phi(x)dx=0\][/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]u=0[/mm] fast überall in [mm]I[/mm]
>
> (b) Für [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] sei die Funktion
> [mm]u\in\mathcal{L}^2(I)[/mm] [mm]k[/mm]-mal schwach differenzierbar. Seien
> [mm]u_k[/mm] und [mm]\bar{u}_k[/mm] schwache Ableitungen [mm]k[/mm]-ter Ordnung.
> Zeige, dass [mm]u_k=\bar{u}_k[/mm] fast überall in [mm]I[/mm].
> Wer kann mir beim Beweisen helfen?
> Viele Grüße.
Was hast Du denn bis jetzt?
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 02.07.2010 | | Autor: | thb |
(a) Also ich habe bis jetzt einen Widerspruchsbeweis angefangen, und zwar Annahme [mm] $u\neq0$, [/mm] dann muss also ein [mm] $x_0 \in$ [/mm] I existieren . O.B.d.A. sei [mm] $u(x_0) [/mm] > 0, dann folgt ja wg. der Stetigkeit von u, dass es dann eine Umgebung [mm] $U_{\epsilon}(x_0)$ [/mm] derart geben muss, [mm] $u(x)\geq c:=\frac {1}{2}u(x_0)>0$ [/mm] für $x [mm] \in U_{\epsilon}(x_0)$. [/mm]
Wenn ich das weiter verfolge komme ich dann hin. Jetzt müsste ich doch noch mit der Testfunktion [mm] $\phi$ [/mm] kommen und die Integralgleichung zum Widerspruch führen, oder? Meinen Ansatz zu (b) poste ich später.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> (a) Also ich habe bis jetzt einen Widerspruchsbeweis
> angefangen, und zwar Annahme [mm]$u\neq0$,[/mm] dann muss also ein
> [mm]$x_0 \in$[/mm] I existieren . O.B.d.A. sei [mm]$u(x_0)[/mm] > 0, dann
> folgt ja wg. der Stetigkeit von u,
Wieso ist u stetig ? Du hast "nur": $ u [mm] \in \mathcal{L}^2(I) [/mm] $
FRED
> dass es dann eine
> Umgebung [mm]$U_{\epsilon}(x_0)$[/mm] derart geben muss, [mm]$u(x)\geq c:=\frac {1}{2}u(x_0)>0$[/mm]
> für $x [mm]\in U_{\epsilon}(x_0)$.[/mm]
> Wenn ich das weiter verfolge komme ich dann hin. Jetzt
> müsste ich doch noch mit der Testfunktion [mm]\phi[/mm] kommen und
> die Integralgleichung zum Widerspruch führen, oder? Meinen
> Ansatz zu (b) poste ich später.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Fr 02.07.2010 | | Autor: | thb |
Okay, Du hast recht, mit der Annahme der Stetigkeit war ich etwas voreilig. Nun ist ja [mm] $\mathcal{L}^2$ [/mm] ein Hilbertraum. Also ist dieser mit einem Standard-S-Produkt versehen. Dieses induziert die [mm] $L_2$-Norm. [/mm] Das S-Produkt ist stetig. Kann ich da Rückschlüsse ziehen oder ist der "Ansatz" über die Stetigkeit gänzlich falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, Du hast recht, mit der Annahme der Stetigkeit war ich
> etwas voreilig. Nun ist ja [mm]\mathcal{L}^2(I)[/mm] ein Hilbertraum.
> Also ist dieser mit einem Standard-S-Produkt versehen.
> Dieses induziert die [mm]L_2[/mm]-Norm. Das S-Produkt ist stetig.
> Kann ich da Rückschlüsse ziehen oder ist der "Ansatz"
> über die Stetigkeit gänzlich falsch?
Das Skalarprodukt auf [mm]\mathcal{L}^2(I)[/mm] bez. wir mal mit
$<*,*>$
Dann haben wir: [mm] $=0 [/mm] $ für alle [mm] $\phi \in \mathcal{C}_0^{\infty}(I) [/mm] $
Was weißt Du über den Raum [mm] \mathcal{C}_0^{\infty}(I) [/mm] in Zusammenhang mit [mm]\mathcal{L}^2(I)[/mm] ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 02.07.2010 | | Autor: | thb |
Die Menge [mm] $C_0^\infty [/mm] (I)$ umfasst alle glatten also alle unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit einem kompaktem Träger in I. Diese liegen doch dicht im L2-Raum. Ich glaube das wurde in der Vorlesung gezeigt.
Natürlich dann bezgl . der durch das S-Produkt induzierten L2-Norm.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Fr 02.07.2010 | | Autor: | thb |
Also ich mach einfach mal weiter:
Sei [mm] $u\in\mathcal{C}_0^{\infty}$, [/mm] die die Gleichung aus der Aufgabenstellung erfüllt. Dann ex. wegen dem vorherigen post eine Folge glatter Funktionen [mm] $u_n$, [/mm] die gegen $u$ in der L2-Norm konvergiert. Weiter gilt doch dann die Abschätzung
[mm] $|\int_I [/mm] u u dx [mm] -\int_I [/mm] u [mm] u_n dx|=|\int u(u-u_n)dx| \leq \|u\|_2 \|u-u_n\|_2 \rightarrow [/mm] 0$ für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] (Cauchy-Schwarz-UGL)
Jetzt weiss ich ja (zunächst per definitionem), dass [mm] \|u\|_2^2=\int_Iuudx=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Iu u_n [/mm] dx =0$, da ja u die Gleichung aus der Aufgabenstellung erfüllt.
Also ist u=0 fast überall . Ist das so richtig? Oder sollte man das besser mit S-Produkten schreiben?
(b) Hier ist doch eigentlich zu zeigen, dass falls die k-te schwache Ableitung, falls existent, eindeutig bestimmt ist - das besagt doch die Aussage, dass [mm] $\bar{u}=u$ [/mm] ist, oder?
Gruß
|
|
|
|
