Variationen Axiom of Infinity < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die nachfolgenden Fragen beziehen sich auf etwas wie NBG ohne irgendeine Form des Unendlichkeitsaxioms, soweit ich weiß ist das äquivalent zu ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom. Ich betrachte die folgenden vier Aussagen:
Inf Es existiert eine induktive Menge.
Eine Menge heißt induktiv, wenn sie die leere Menge und für jedes Element $x$ auf [mm] $x\cup\{x\}$ [/mm] enthält. Nach dem Aussonderungsaxiom existiert auch der Schnitt aller induktiven Mengen, den man mit [mm] $\IN$ [/mm] bezeichnet, und wo man $x+1$ für [mm] $x\cup\{x\}$ [/mm] schreibt, und $0$ für [mm] $\emptyset$.
[/mm]
Proposition 1:Die Abbildung [mm] $\IN\xrightarrow{\ \ +1\ \ }\IN$ [/mm] ist injektiv und ihr Bild ist genau [mm] $\IN\setminus\{0\}$.
[/mm]
Beweis: Injektivität: Aus [mm] $x\cup\{x\}=y\cup\{y\}$ [/mm] folgt x=y oder [mm] $x\in [/mm] y$ und per Symmetrie $y=x$ oder [mm] $y\in [/mm] x$. Gilt beide male der zweite Fall, so folgt [mm] $x\in y\in [/mm] x$, was dem Fundierungsaxiom widerspricht (geht es auch ohne Fundierung?). Bild: Offenbar ist [mm] $\operatorname{im}(+1)\cup\{0\}$ [/mm] eine induktive Menge, wegen Minimalität von [mm] $\IN$ [/mm] folgt [mm] $\IN\subseteq\operatorname{im}(+1)\cup [/mm] 0$ und daraus bereits Gleichheit.
Proposition 2: Ist [mm] $M\subseteq\IN$ [/mm] eine Menge mit [mm] $0\in [/mm] M$ und [mm] $x+1\in [/mm] M$ für alle [mm] $x\in\IN$, [/mm] so ist [mm] $M=\IN$.
[/mm]
Beweis: Dies gilt, weil $M$ eine induktive Menge ist, die in [mm] $\IN$ [/mm] enthalten ist.
Proposition 3: Die Inklusion ist eine Wohlordnung auf [mm] $\IN$.
[/mm]
Beweis: Es sei [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] nichtleer und ohne Minimum. Es sei [mm] $M=\{x\in\IN\mid x\text{ ist untere Schranke von }A\}$. [/mm] Sicherlich gilt [mm] $0=\min\IN\in [/mm] M$. Ist nun [mm] $x\in [/mm] M$, so muss [mm] $x\notin [/mm] A$, denn sonst wäre $x$ ein Minimum von $A$. Zu zeigen ist, dass $x+1$ ebenfalls eine untere Schranke von $A$ ist. Sei daher [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $x\subsetneq [/mm] a$. Vermutlich brauche ich hier auch wieder Proposition 2, das bekomme ich gerade noch nicht hin.
Wenn dann [mm] $M=\IN$ [/mm] folgt, so heißt dies, dass jede natürliche Zahl untere Schranke von $A$ ist, also $A$ leer sein muss (Annahme, [mm] $a\in [/mm] A$, dann ist $a+1$ keine untere Schranke, Widerspruch), was wir ausgeschlossen haben.
NNO Es existiert ein ![[]](/images/popup.gif) Natural numbers object in der Kategorie der Mengen.
In anderen Worten: Es existiert ein Tripel [mm] $(\IN,0\in\IN,\IN\xrightarrow{\ \ +1\ \ }\IN)$, [/mm] sodass für jedes Tripel [mm] $(A,a\in A,A\xrightarrow{\ \ f\ \ }A)$ [/mm] genau eine Abbildung [mm] $\IN\xrightarrow{\ \ r\ \ }A$ [/mm] existiert mit $r(0)=a$ und $r(x+1)=f(r(x))$ für alle [mm] $x\in\IN$.
[/mm]
Proposition 4: Aus INF folgt NNO.
Beweis: Wir wählen für das [mm] $\IN$ [/mm] in NNO die Daten aus INF. Sei $(A,a,f)$ wie in NNO gegeben. Man setzt
[mm] $T=\left\{(N\subseteq\IN,N\xrightarrow{\ \ s\ \ }A)\Big.\;\middle|\; 0\in N, s(0)=a,\forall x\in N:\left(x+1\in N\implies x\in N,s(x+1)=f(s(x))\big.\right)\right\}$
[/mm]
und folgert nun durch Proposition 2, dass es für jedes [mm] $x\in\IN$ [/mm] ein [mm] $(N,s)\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $x\in [/mm] N$, und dass der Wert $s(x)$ unabhängig von der Wahl eines solchen Paares $(N,s)$ ist. Dann definiert man $r$ durch [mm] $x\longmapsto [/mm] s(x)$ für eine passende Wahl und verifiziert die nötigen Eigenschaften, wieder mit Proposition 2. Auch Eindeutigkeit folgt aus Proposition 2. Der Beweis stammt von tobit09 hier aus dem Forum.
Frage: Gilt auch [mm] NNO$\implies$INF?
[/mm]
Proposition 5: Die Abbildung $+1$ in NNO ist injektiv und ihr Bild ist [mm] $\IN\setminus\{0\}$.
[/mm]
Beweis: Ein ziemlicher High-Tec-Beweis eines Satzes von Freyd zeigt im von mir verlinkten nlab-Artikel, dass in einem beliebigen Topos mit NNO der Pfeil [mm] $(0,+1)\colon 1\sqcup\IN\longrightarrow\IN$ [/mm] ein Isomorphismus ist (und dass dies zusammen mit der Bedingung, dass [mm] $\IN\xrightarrow (+1,0+1)\IN\longrightarrow [/mm] 1$ ein Differenzkokern ist, bereits genügt, um [mm] $\IN [/mm] $ als NNO zu charakterisieren). In der Kategorie der Mengen lässt sich dies genau in obige Proposition übersetzen. Ich denke, dass ich es in der Kategorie der Mengen auch elementarer hinbekomme, das sollte eigentlich nicht so schwer sein.
CNNO Es existiert ein Natrual Numbers Object in der Metakategorie der Klassen, dieses ist selbst eine Menge.
Das heißt, dass wir im ersten Satz nach NNO für $A$ auch eine Klasse wählen können, [mm] $\IN$ [/mm] soll aber eine Menge sein.
Proposition 6: Aus CNNO folgt NNO.
Beweis: Klar.
Proposition 7: Aus CNNO folgt INF.
Beweis: Sei [mm] $\IN$ [/mm] wie in CNNO. Wende CNNO an auf das Tripel [mm] $(\operatorname{Ord},\emptyset,x\longmapsto x\cup [/mm] x)$. Nach dem Ersetzungsaxiom ist das Bild der induzierten Abbildung [mm] $\IN\longrightarrow\operatorname{Ord}$ [/mm] eine Menge und nach Konstruktion ist diese induktiv und eine minimale solche.
Frage: Gilt [mm] INF$\implies$CNNO?
[/mm]
DED Es existiert eine Dedekind-unendliche Menge.
Jede der obigen drei Aussagen impliziert DED, dies folgt aus den Propositionen 1, 5, 6.
Frage: Welche der obigen drei Aussagen folgt aus DED?
Das ist jetzt eine ganze Menge Stoff und vielleicht keine nichttrivialen Fragen, aber sie beschäfigen mich schon lange, vielleicht kennt ja jemand ein paar Aussagen und kann noch ein paar Beweislücken bei meinen obigen Behauptungen schließen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Ich werde versuchen, in der nächsten Zeit noch ein paar meiner Aussagen zu rechtfertigen.
Edit2: Ich glaube, es gilt [mm] NNO$\implies$INF. [/mm] Die Frage ist, ob man das Analogon von Proposition 4 auch zeigen kann, wenn der Durchschnitt aller induktiven Klassen keine Menge ist. Wenn das gilt, sind die ersten drei Aussagen äquivalent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Sa 08.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> die nachfolgenden Fragen beziehen sich auf etwas wie NBG
> ohne irgendeine Form des Unendlichkeitsaxioms, soweit ich
> weiß ist das äquivalent zu ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom.
Leider ist es schon etwas her, dass ich am Rande mit NBG zu tun hatte.
Ich habe daher für meine Antwort in ZFC-INF (ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom) gedacht.
Du kannst ja selbst prüfen, ob meine Argumentationen auch in NBG-INF funktionieren.
Weißt du zufällig, in welchem Sinne ZFC-INF und NBG-INF äquivalent sein sollen?
Das ist ja irgendwie erklärungsbedürftig, schließlich gibt es ja in NBG-INF Klassen, in ZFC-INF hingegen nicht (oder allenfalls indirekt in Form von Klassentermen).
> Ich betrachte die folgenden vier Aussagen:
>
> Inf Es existiert eine induktive Menge.
>
> Eine Menge heißt induktiv, wenn sie die leere Menge und
> für jedes Element [mm]x[/mm] auf [mm]x\cup\{x\}[/mm] enthält. Nach dem
> Aussonderungsaxiom existiert auch der Schnitt aller
> induktiven Mengen, den man mit [mm]\IN[/mm] bezeichnet, und wo man
> [mm]x+1[/mm] für [mm]x\cup\{x\}[/mm] schreibt, und [mm]0[/mm] für [mm]\emptyset[/mm].
Natürlich ist das Aussonderungsaxiom in ZFC-INF so nur anwendbar, wenn INF gilt.
Das nimmst du sicher für Proposition 1 bis 3 an.
Bemerkung am Rande: [mm] $\IN$ [/mm] kann (im intuitiven Sinne) durchaus Nichtstandardzahlen enthalten.
Man kann zeigen, dass [mm] $\IN$ [/mm] eine Ordinalzahl ist, und zwar die kleinste Limes-Ordinalzahl.
> Proposition 1:Die Abbildung [mm]\IN\xrightarrow{\ \ +1\ \ }\IN[/mm]
> ist injektiv und ihr Bild ist genau [mm]\IN\setminus\{0\}[/mm].
> Beweis: Injektivität: Aus [mm]x\cup\{x\}=y\cup\{y\}[/mm] folgt x=y
> oder [mm]x\in y[/mm] und per Symmetrie [mm]y=x[/mm] oder [mm]y\in x[/mm]. Gilt beide
> male der zweite Fall, so folgt [mm]x\in y\in x[/mm], was dem
> Fundierungsaxiom widerspricht (geht es auch ohne
> Fundierung?).
Ja. Als Ordinalzahl ist [mm] $\IN$ [/mm] auch ohne Fundierungsaxiom fundiert im Sinne von: Jede nichtleere Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] besitzt ein [mm] $\in$-minimales [/mm] Element.
> Bild: Offenbar ist
> [mm]\operatorname{im}(+1)\cup\{0\}[/mm] eine induktive Menge, wegen
> Minimalität von [mm]\IN[/mm] folgt
> [mm]\IN\subseteq\operatorname{im}(+1)\cup 0[/mm] und daraus bereits
> Gleichheit.
> Proposition 2: Ist [mm]M\subseteq\IN[/mm] eine Menge mit [mm]0\in M[/mm] und
> [mm]x+1\in M[/mm] für alle [mm]x\in\IN[/mm], so ist [mm]M=\IN[/mm].
> Beweis: Dies gilt, weil [mm]M[/mm] eine induktive Menge ist, die in
> [mm]\IN[/mm] enthalten ist.
> Proposition 3: Die Inklusion ist eine Wohlordnung auf [mm]\IN[/mm].
Das ist klar, wenn man sich überlegt hat, dass [mm] $\IN$ [/mm] eine Ordinalzahl ist (und man sich mit Ordinalzahlen auskennt).
(Ebenso aus der Theorie der Ordinalzahlen bekannt (?):
Für alle [mm] $x,y\in [/mm] ON$ (und somit insbesondere für alle [mm] $x,y\in\IN$) [/mm] gilt: [mm] $x\subseteq y\iff x\in y\vee [/mm] x=y$.)
> Beweis: Es sei [mm]A\subseteq\IN[/mm] nichtleer und ohne Minimum.
> Es sei [mm]M=\{x\in\IN\mid x\text{ ist untere Schranke von }A\}[/mm].
Mit "x untere Schranke von A" meinst du [mm] $x\subseteq [/mm] a$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$?
> Sicherlich gilt [mm]0=\min\IN\in M[/mm]. Ist nun [mm]x\in M[/mm], so muss
> [mm]x\notin A[/mm], denn sonst wäre [mm]x[/mm] ein Minimum von [mm]A[/mm]. Zu zeigen
> ist, dass [mm]x+1[/mm] ebenfalls eine untere Schranke von [mm]A[/mm] ist. Sei
> daher [mm]a\in A[/mm] mit [mm]x\subsetneq a[/mm]. Vermutlich brauche ich hier
> auch wieder Proposition 2, das bekomme ich gerade noch
> nicht hin.
>
> Wenn dann [mm]M=\IN[/mm] folgt, so heißt dies, dass jede
> natürliche Zahl untere Schranke von [mm]A[/mm] ist, also [mm]A[/mm] leer
> sein muss (Annahme, [mm]a\in A[/mm], dann ist [mm]a+1[/mm] keine untere
> Schranke,
Damit $a+1$ wirklich keine untere Schranke ist, brauchst du wieder die Fundiertheit von [mm] $\IN$ [/mm] im oben genannten Sinne.
> Widerspruch), was wir ausgeschlossen haben.
> NNO Es existiert ein
> Natural numbers object
> in der Kategorie der Mengen.
>
> In anderen Worten: Es existiert ein Tripel
> [mm](\IN,0\in\IN,\IN\xrightarrow{\ \ +1\ \ }\IN)[/mm], sodass für
> jedes Tripel [mm](A,a\in A,A\xrightarrow{\ \ f\ \ }A)[/mm] genau
> eine Abbildung [mm]\IN\xrightarrow{\ \ r\ \ }A[/mm] existiert mit
> [mm]r(0)=a[/mm] und [mm]r(x+1)=f(r(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IN[/mm].
(Gut, dass du das verständlich übersetzt hast.  )
> Proposition 4: Aus INF folgt NNO.
> Beweis: Wir wählen für das [mm]\IN[/mm] in NNO die Daten aus INF.
> Sei [mm](A,a,f)[/mm] wie in NNO gegeben. Man setzt
>
> [mm]T=\left\{(N\subseteq\IN,N\xrightarrow{\ \ s\ \ }A)\Big.\;\middle|\; 0\in N, s(0)=a,\forall x\in N:\left(x+1\in N\implies x\in N,s(x+1)=f(s(x))\big.\right)\right\}[/mm]
>
> und folgert nun durch Proposition 2, dass es für jedes
> [mm]x\in\IN[/mm] ein [mm](N,s)\in\IN[/mm]
Es soll natürlich [mm] $(N,s)\in [/mm] T$ heißen.
> existiert mit [mm]x\in N[/mm], und dass der
> Wert [mm]s(x)[/mm] unabhängig von der Wahl eines solchen Paares
> [mm](N,s)[/mm] ist. Dann definiert man [mm]r[/mm] durch [mm]x\longmapsto s(x)[/mm]
> für eine passende Wahl und verifiziert die nötigen
> Eigenschaften, wieder mit Proposition 2. Auch Eindeutigkeit
> folgt aus Proposition 2. Der Beweis stammt von tobit09 hier
> aus dem Forum.
Vielleicht habe ich ihn in der Art formuliert.
Ursprünglich stammt er sicherlich nicht von mir... 
> Frage: Gilt auch NNO[mm]\implies[/mm]INF?
Ja. Es gilt [mm] NNO$\implies$DED$\implies$INF [/mm] (letztere Implikation siehe unten).
> Proposition 5: Die Abbildung [mm]+1[/mm] in NNO ist injektiv und ihr
> Bild ist [mm]\IN\setminus\{0\}[/mm].
> Beweis: Ein ziemlicher High-Tec-Beweis eines Satzes von
> Freyd zeigt im von mir verlinkten nlab-Artikel, dass in
> einem beliebigen Topos mit NNO der Pfeil [mm](0,+1)\colon 1\sqcup\IN\longrightarrow\IN[/mm]
> ein Isomorphismus ist (und dass dies zusammen mit der
> Bedingung, dass [mm]\IN\xrightarrow (+1,0+1)\IN\longrightarrow 1[/mm]
> ein Differenzkokern ist, bereits genügt, um [mm]\IN[/mm] als NNO zu
> charakterisieren). In der Kategorie der Mengen lässt sich
> dies genau in obige Proposition übersetzen. Ich denke,
> dass ich es in der Kategorie der Mengen auch elementarer
> hinbekomme, das sollte eigentlich nicht so schwer sein.
(Das habe ich nicht geprüft.)
> CNNO Es existiert ein Natrual Numbers Object in der
> Metakategorie der Klassen, dieses ist selbst eine Menge.
>
> Das heißt, dass wir im ersten Satz nach NNO für [mm]A[/mm] auch
> eine Klasse wählen können, [mm]\IN[/mm] soll aber eine Menge
> sein.
Das lässt sich in der Sprache von ZFC vermutlich gar nicht direkt als Axiom oder Axiomenschema ausdrücken.
Trotzdem erscheint dieses Axiom natürlich eine sinnvolle Bedeutung zu haben, wenn man unter Klassen "durch Klassenterme ausdrückbare Klassen" versteht.
Ich denke nochmal darüber nach...
Bis dahin übergehe ich diese Problematik.
> Proposition 6: Aus CNNO folgt NNO.
> Beweis: Klar.
> Proposition 7: Aus CNNO folgt INF.
> Beweis: Sei [mm]\IN[/mm] wie in CNNO. Wende CNNO an auf das Tripel
> [mm](\operatorname{Ord},\emptyset,x\longmapsto x\cup x)[/mm]. Nach
> dem Ersetzungsaxiom ist das Bild der induzierten Abbildung
> [mm]\IN\longrightarrow\operatorname{Ord}[/mm] eine Menge und nach
> Konstruktion ist diese induktiv und eine minimale solche.
> Frage: Gilt INF[mm]\implies[/mm]CNNO?
Ja.
Der Beweis von Proposition 4 funktioniert genauso auch für $A$ und $f$ (in ZFC-INF durch Klassenterme gegebene) Klassen.
Beachte dazu, dass Abbildungen [mm] $s\colon N\to [/mm] A$ immer noch Mengen sind.
> DED Es existiert eine Dedekind-unendliche Menge.
>
> Jede der obigen drei Aussagen impliziert DED, dies folgt
> aus den Propositionen 1, 5, 6.
> Frage: Welche der obigen drei Aussagen folgt aus DED?
Wie oben schon angedeutet, lässt sich [mm] DED$\implies$INF [/mm] zeigen.
Also [mm] INF$\implies$CNNO$\implies$NNO$\implies$DED$\implies$INF.
[/mm]
Damit sind alle vier Aussagen äquivalent!
Für den Nachweis von [mm] DED$\implies$INF [/mm] verwende ich aber das Auswahlaxiom:
Sei $M$ eine Dedekind-unendliche Menge.
Gemäß Auswahlaxiom (bzw. daraus abgeleitetem Satz) lässt sich $M$ wohlordnen.
Sei [mm] $\alpha\in [/mm] ON$ der Ordnungstyp dieser Wohlordnung.
Da es eine Bijektion zwischen $M$ und [mm] $\alpha$ [/mm] gibt, ist auch [mm] $\alpha$ [/mm] Dedekind-unendlich.
Es gibt also eine Dedekind-unendliche Ordinalzahl.
Sei nun [mm] $\lambda$ [/mm] die kleinste Dedekind-unendliche Ordinalzahl.
Zeige, dass [mm] $\lambda$ [/mm] induktiv ist.
(Tatsächlich gilt [mm] $\lambda=\omega=\IN$.)
[/mm]
> Edit2: Ich glaube, es gilt NNO[mm]\implies[/mm]INF. Die Frage ist,
> ob man das Analogon von Proposition 4 auch zeigen kann,
> wenn der Durchschnitt aller induktiven Klassen keine Menge
> ist. Wenn das gilt, sind die ersten drei Aussagen
> äquivalent.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Du betrachtest den Fall, dass der Durchschnitt aller induktiven Klassen (der sich in ZFC gar nicht direkt formulieren lässt) keine Menge ist, also den Fall [mm] $\neg$INF?
[/mm]
Welches Analogon zu Proposition 4 möchtest du nun zeigen?
In Proposition 4 haben wir doch gerade INF als Vorraussetzung?!
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo UniversellesObjekt!
> Weißt du zufällig, in welchem Sinne ZFC-INF und NBG-INF
> äquivalent sein sollen?
> Das ist ja irgendwie erklärungsbedürftig, schließlich
> gibt es ja in NBG-INF Klassen, in ZFC-INF hingegen nicht
> (oder allenfalls indirekt in Form von Klassentermen).
Also ich habe gelesen, dass ZFC und NBG äquivalent sind in dem Sinne, dass jede Aussage in NBG, die lediglich Mengenvariablen enthält genau dann beweisbar ist, wenn sie das in ZFC ist. Diese Aussage findet man zum Beispiel im deutschen NBG-Artikel auf Wikipedia. Ich habe dann einfach mal vermutet, dass das auch ohne Unendlichkeitsaxiom richtig bleibt.
> Bemerkung am Rande: [mm]\IN[/mm] kann (im intuitiven Sinne) durchaus
> Nichtstandardzahlen enthalten.
Was bedeutet das?
> Man kann zeigen, dass [mm]\IN[/mm] eine Ordinalzahl ist, und zwar
> die kleinste Limes-Ordinalzahl.
In dem Mengenlehre-Buch, aus dem ich mein bisschen Wissen habe, von Thomas Jech, ist eine Ordinalzahl eine Menge mit [mm] $\mathfrak{P}(M)\subseteq [/mm] M$ und wenn [mm] $x\le y\iff x\in y\vee [/mm] x=y$ eine Wohlordnung auf $M$ ist.
Wie in etwa würde denn der Beweis funktionieren, dass [mm] $\IN$ [/mm] eine Ordinalzahl ist? Dass Elemente von Ordinalzahlen wieder Ordinalzahlen sind, wird in dem Buch gezeigt, und auch, dass für Ordinalzahlen $x,y$ die Aussagen [mm] $x\in [/mm] y$ und [mm] $x\subsetneq [/mm] y$ äquivalent sind; daraus folgt dann ja meine Behauptung über Wohlgeordnetheit (ist das ein Wort?^^).
> Ja. Als Ordinalzahl ist [mm]\IN[/mm] auch ohne Fundierungsaxiom
> fundiert im Sinne von: Jede nichtleere Teilmenge von [mm]\IN[/mm]
> besitzt ein [mm]\in[/mm]-minimales Element.
Das ist mir dann klar, soweit man zeigen kann, dass [mm] $\IN$ [/mm] Ordinalzahl ist, ohne Fundierung zu benutzen
> Mit "x untere Schranke von A" meinst du [mm]x\subseteq a[/mm] für
> alle [mm]a\in A[/mm]?
Ja, das meinte ich damit.
> > Frage: Gilt auch NNO[mm]\implies[/mm]INF?
> Ja. Es gilt NNO[mm]\implies[/mm]DED[mm]\implies[/mm]INF (letztere
> Implikation siehe unten).
> > Proposition 5: Die Abbildung [mm]+1[/mm] in NNO ist injektiv und ihr
> > Bild ist [mm]\IN\setminus\{0\}[/mm].
> > Beweis: Ein ziemlicher High-Tec-Beweis eines Satzes von
> > Freyd zeigt im von mir verlinkten nlab-Artikel, dass in
> > einem beliebigen Topos mit NNO der Pfeil [mm](0,+1)\colon 1\sqcup\IN\longrightarrow\IN[/mm]
> > ein Isomorphismus ist.
> (Das habe ich nicht geprüft.)
Es heißt dort, dass die Richtung [mm] "$1\xrightarrow{\ \ 0\ \ }\IN\xrightarrow{\ \ +1\ \ }\IN$ [/mm] NNO [mm] $\implies$ $1\sqcup\IN\xrightarrow{\ \ (0,+1)\ \ }\IN$ [/mm] Isomorphismus" in jeder Kategorie mit terminalem Objekt und zweifachen Koprodukten richtig ist. Ich hoffe daher immer noch, dass ich das zeigen kann.
($1$ ist eine beliebige Einpunktmenge, [mm] $1\sqcup\IN$ [/mm] ist die disjunkte Vereinigung und $(0,+1)$ sendet das Element von $1$ auf die $0$ und alle Elemente aus [mm] $\IN$ [/mm] auf ihren Nachfolger, und diese Abbildung soll bijektiv sein.)
> Der Beweis von Proposition 4 funktioniert genauso auch für
> [mm]A[/mm] und [mm]f[/mm] (in ZFC-INF durch Klassenterme gegebene) Klassen.
> Beachte dazu, dass Abbildungen [mm]s\colon N\to A[/mm] immer noch
> Mengen sind.
Das ist genau das, was ich in meinem schlecht formulierten Edit2 meinte. Genauer gesagt wollte ich in NBG-INF zeigen, dass, wenn man mit [mm] $\IN$ [/mm] den Durchschnitt aller induktiven Klassen bezeichnet, 0, +1 normal definiert, dass dann für jede Klasse $A$, [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $A\xrightarrow{\ \ f\ \ }A$ [/mm] die Abbildung [mm] $\IN\longrightarrow [/mm] A$ mit den gewöhnlichen Rekursionseigenschaften eindeutig gibt.
Und wenn ich dich hier richtig verstehe, stimmt das ja auch. INF behauptet dann lediglich, dass die Klasse eine Menge ist, genauso, wie CNNO das tut.
> Sei nun [mm]\lambda[/mm] die kleinste Dedekind-unendliche
> Ordinalzahl.
> Zeige, dass [mm]\lambda[/mm] induktiv ist.
> (Tatsächlich gilt [mm]\lambda=\omega=\IN[/mm].)
[mm] $\lambda$ [/mm] hat kein Maximum, denn sonst wäre [mm] $\lambda\setminus\{\max\lambda\}$ [/mm] eine kleinere unendliche Ordinalzahl. (Stimmt das?) Außerdem ist jedes Element einer Ordinalzahl ein Anfangsstück dieser Ordinalzahl. (Stimmt das?) Mit [mm] $x\in\lambda$ [/mm] gibt es also ein $y>x$ mit [mm] $\{a\mid a
Vielen herzlichen Dank und liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 09.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Ein kleiner Anfang, später antworte ich weiter:
> Also ich habe gelesen, dass ZFC und NBG äquivalent sind in
> dem Sinne, dass jede Aussage in NBG, die lediglich
> Mengenvariablen enthält genau dann beweisbar ist, wenn sie
> das in ZFC ist.
Danke für die Erklärung! Nachdem ich sie gelesen habe, kommt mir das wieder bekannt vor. Wenn ich mich recht erinnere, verwendet man zum Beweis Forcing. Davon habe ich leider keine Ahnung.
(Unter einer "Aussage in NBG" ist natürlich nur eine als Satz (Formel ohne freie Variablen) in der Sprache der Mengenlehre formulierbare Aussage gemeint.)
> Diese Aussage findet man zum Beispiel im
> deutschen NBG-Artikel auf Wikipedia. Ich habe dann einfach
> mal vermutet, dass das auch ohne Unendlichkeitsaxiom
> richtig bleibt.
Keine Ahnung.
> > Bemerkung am Rande: [mm]\IN[/mm] kann (im intuitiven Sinne) durchaus
> > Nichtstandardzahlen enthalten.
>
> Was bedeutet das?
Vorweg: Das ist keine in der Sprache der Mengenlehre als Satz formulierbare Aussage.
Wir kennen aus der Grundschule die natürlichen Zahlen [mm] $0,1,2,3,\ldots$.
[/mm]
Obwohl ich nicht definieren kann, was wir damit meinen, glaube ich doch, dass wir alle eine ziemlich gute Vorstellung von der "Gesamtheit" dieser natürlichen Zahlen haben.
Diese "Grundschul-Zahlen" finden wir in der von dir (unter Annahme INF) definierten Menge [mm] $\IN$ [/mm] wie folgt wieder, indem wir nacheinander
0 mit [mm] $\emptyset$
[/mm]
1 mit [mm] $0\cup\{0\}$
[/mm]
2 mit [mm] $1\cup\{1\}$
[/mm]
3 mit [mm] $2\cup\{2\}$
[/mm]
...
identifieren.
Die mit "Grundschul-Zahlen" diese Weise identifizierten Mengen möchte ich Standardzahlen nennen.
(Die Aussageform "$x$ ist Standardzahl" ist nicht als Formel in der Sprache der Mengenlehre formulierbar.)
Da [mm] $\IN$ [/mm] induktiv ist, sind alle Standardzahlen Elemente von [mm] $\IN$.
[/mm]
Aber nicht alle Elemente von [mm] $\IN$ [/mm] müssen Standardzahlen sein!
Es kann Elemente von [mm] $\IN$ [/mm] geben, die größer (im Sinne von [mm] $x
Die Menge [mm] $\IN$ [/mm] stimmt modulo obiger Identifizierung möglicherweise also gar nicht mit der Gesamtheit der natürlichen Zahlen, wie wir sie uns seit der Grundschule vorstellen, überein!
Die meisten Mathematiker, die mit Mengenlehre zu tun haben, "glauben" an ein Mengenuniversum, in dem [mm] $\IN$ [/mm] nur Standardzahlen enthält. (Aber leider nur die wenigsten machen diese Prämisse transparent.)
Ich gehöre nicht zu dieser "Fraktion".
Ich sehe kein Argument dafür, dass selbst im Falle der Konsistenz von ZFC oder NBG die (nicht in der Sprache der Mengenlehre formulierbare) Annahme
ZFC/NBG + "alle Elemente von [mm] $\IN$ [/mm] sind Standardzahlen"
nicht zu irgendwie gearteten Widersprüchen führen könnte.
Dass die meisten Mathematiker (einschließlich des Dozenten der von mir besuchten Mengenlehre-Vorlesung) einfach so tun, als entspräche die Menge [mm] $\IN$ [/mm] in der axiomatischen Mengenlehre genau der Menge der "Grundschul-Zahlen", empfinde ich als großen Betrug (oder Inkompetenz).
Soweit mein Wort zum Sonntag!
Wie gesagt mache ich später weiter und gehe dann mehr auf deine Fragen ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 09.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Nächster Abschnitt:
> > Man kann zeigen, dass [mm]\IN[/mm] eine Ordinalzahl ist, und zwar
> > die kleinste Limes-Ordinalzahl.
>
> In dem Mengenlehre-Buch, aus dem ich mein bisschen Wissen
> habe, von Thomas Jech, ist eine Ordinalzahl eine Menge mit
> [mm]\mathfrak{P}(M)\subseteq M[/mm] und wenn [mm]x\le y\iff x\in y\vee x=y[/mm]
> eine Wohlordnung auf [mm]M[/mm] ist.
Es muss natürlich [mm] $M\subseteq\mathfrak{P}(M)$ [/mm] statt [mm] $\mathfrak{P}(M)\subseteq [/mm] M$ heißen (sonst gäbe es keine Ordinalzahlen).
Aber trotzdem kommt mir diese Definition fehlerhaft vor:
Nach obiger Definition wäre ja jede Menge $x$ mit [mm] $x=\{x\}$ [/mm] (die es natürlich nur ohne Fundierungsaxiom geben kann) eine Ordinalzahl!
Das ist sicher nicht beabsichtigt und führt zu zahlreichen Problemen.
Bitte überprüfe daher die Definition.
(Ich besitze das Buch von Jech leider nicht.)
Bis dahin verwende ich folgende Definitionen:
Eine Menge $M$ heißt transitiv, wenn [mm] $M\subseteq [/mm] P(M)$ gilt.
Dies ist äquivalent zu: [mm] $x\in y\in M\Rightarrow x\in [/mm] M$.
Ein Element [mm] $x\in [/mm] M$ heißt [mm] $\in$-minimal [/mm] in $M$, falls kein [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $y\in [/mm] x$ existiert.
(Achtung: Der Begriff der "Fundiertheit" einer Menge wird unterschiedlich gebraucht. Ich verwende ihn im folgenden Sinne:)
Eine Menge $M$ heißt fundiert, wenn jede nichtleere Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] M$ ein Element [mm] $x\in [/mm] A$ enthält mit $x$ [mm] $\in$-minimal [/mm] in $A$.
Eine Ordinalzahl kann mit diesen Begriffen als fundierte transitive Menge, deren Elemente ebenfalls transitiv sind, erklärt werden.
Bis zur Klärung der Definition von Jech verwende ich die von mir angegebene.
Nach der Klärung können wir dann überlegen, ob und wie Jechs Definition zu der von mir genannten passt. Natürlich sollten beide Definitionen äquivalent sein.
> Wie in etwa würde denn der Beweis funktionieren, dass [mm]\IN[/mm]
> eine Ordinalzahl ist?
Zur Transitivität von [mm] $\IN$:
[/mm]
Zeige per Induktion [mm] $x\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IN$.
[/mm]
Zeige dann per Induktion, dass alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] transitiv sind.
Zur Fundiertheit von [mm] $\IN$:
[/mm]
Sei [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] nichtleer.
Zu zeigen ist, dass $A$ ein [mm] $\in$-minimales [/mm] Element besitzt.
Angenommen nicht.
Zeige per Induktion, dass für alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $x\subseteq\IN\setminus [/mm] A$.
Verwende dabei im Induktionsschritt, dass $A$ kein [mm] $\in$-minimales [/mm] Element besitzt.
Da $A$ nichtleer ist, existiert ein [mm] $x\in [/mm] A$.
Nach der per Induktion gezeigten Behauptung gilt [mm] $x\cup\{x\}\subseteq\IN\setminus [/mm] A$.
Insbesondere [mm] $x\in\IN\setminus [/mm] A$ im Widerspruch zur Wahl von $x$ als Element von $A$.
So weit wieder für den Moment.
Später geht es erneut weiter!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 10.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Der Beweis von Proposition 4 funktioniert genauso auch für
> > [mm]A[/mm] und [mm]f[/mm] (in ZFC-INF durch Klassenterme gegebene) Klassen.
> > Beachte dazu, dass Abbildungen [mm]s\colon N\to A[/mm] immer
> noch
> > Mengen sind.
>
> Das ist genau das, was ich in meinem schlecht formulierten
> Edit2 meinte. Genauer gesagt wollte ich in NBG-INF zeigen,
> dass, wenn man mit [mm]\IN[/mm] den Durchschnitt aller induktiven
> Klassen bezeichnet,
Wie gesagt hatte ich mit NBG noch nicht viel zu tun.
Ich sehe nicht, dass in NBG für eine beliebige Formel [mm] $\varphi(x)$ [/mm] der Durchschnitt
[mm] $\bigcap_{A\text{ Klasse mit }\varphi(A)}A$
[/mm]
überhaupt wieder eine Klasse sein muss.
Der Versuch diesen Durchschnitt als
[mm] $\{x\;|\;\forall A\colon(\varphi(A)\rightarrow x\in A)\}$
[/mm]
darzustellen und das Komprehensions-Schema anzuwenden, scheitert daran, dass über Klassen statt wie im Komprehensions-Schema vorgesehen ausschließlich über Mengen quantifiziert wird.
Im konkreten Fall lässt sich aber zeigen, dass der Durchschnitt auch im Falle [mm] $\neg [/mm] INF$ als Klasse existiert und dann durch die Klasse On aller Ordinalzahlen gegeben ist.
> 0, +1 normal definiert, dass dann für
> jede Klasse [mm]A[/mm], [mm]a\in A[/mm] und [mm]A\xrightarrow{\ \ f\ \ }A[/mm] die
> Abbildung [mm]\IN\longrightarrow A[/mm] mit den gewöhnlichen
> Rekursionseigenschaften eindeutig gibt.
Im Falle [mm] $\neg [/mm] INF$ (also [mm] $\IN=On$ [/mm] und es gibt keine Limes-Ordinalzahlen) entspricht diese Aussage dem Satz über die gewöhnliche ordinale Rekursion.
> Und wenn ich dich hier richtig verstehe, stimmt das ja
> auch.
Es stimmt (Abbildungen [mm] $s\colon\IN\to [/mm] A$ sind im Falle [mm] "$\IN$ [/mm] keine Menge" auch keine Mengen), aber in dem von dir zitierten Absatz meines Beitrages ging es nicht darum (um den Nachweis einer "Klassenvariante" von CNNO im Falle [mm] $\neg [/mm] INF$), sondern um den Nachweis von CNNO im Falle INF.
> INF behauptet dann lediglich, dass die Klasse eine
> Menge ist, genauso, wie CNNO das tut.
Ja, INF und CNNO (und auch NNO und DED) behaupten beide jeweils, dass eine Menge einer gewissen Art existiert.
Eine Klasse einer vergleichbaren Art existiert jeweils auch ohne diese Axiome.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 11.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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