Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Di 12.01.2010 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | y' = xy - (ax + R), y(0) = 1
Lösen Sie durch Variation der Konstanten. |
Zunächst hab ich die homogene Lösung bestimmt:
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] ce^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
Konstante als Funktion von x schreiben und ableiten:
y = c(x) [mm] e^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
y' = c(x) [mm] e^{\bruch{1}{2}x^{2}}x [/mm] + c'(x) [mm] e^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
y in die ursprüngliche DGL eingesetzt:
y' = c(x) [mm] e^{\bruch{1}{2}x^{2}}x [/mm] - (ax + R)
Gleichgesetzt und nach c'(x) aufgelöst:
c'(x) = [mm] \bruch{-ax-R}{e^{\bruch{1}{2}x^{2}}}
[/mm]
Aber das lässt sich nun leider nicht integrieren :(
Habs trotzdem mal eingesetzt aber das kann ja nicht die Lösung sein oder?
y(x) = [mm] \integral{\bruch{-ax-R}{e^{\bruch{1}{2}x^{2}}} dx} e^{\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 12.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
du hast doch y'=... gar nicht in der ursprünglichen DGL ersetzt, oder sehe ich das falsch ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Ikit |
Wie meinst du das? Ich hab mich eigentlich exakt an das Schema gehalten, das uns gezeigt wurde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Wie meinst du das? Ich hab mich eigentlich exakt an das
> Schema gehalten, das uns gezeigt wurde.
hattest du auch. Ich hatte das Wort "Gleichgesetzt" nicht wahrgenommen.
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 13.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> y' = xy - (ax + R), y(0) = 1
>
> Lösen Sie durch Variation der Konstanten.
> Zunächst hab ich die homogene Lösung bestimmt:
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]ce^{\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
>
> Konstante als Funktion von x schreiben und ableiten:
>
>
> [mm]y = c(x) e^{\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y' = c(x) e^{\bruch{1}{2}x^{2}}x + c'(x) e^{\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm]
>
> y in die ursprüngliche DGL eingesetzt:
>
> [mm]y' = c(x) e^{\bruch{1}{2}x^{2}}x - (ax + R)[/mm]
>
> Gleichgesetzt und nach c'(x) aufgelöst:
>
> c'(x) = [mm]\bruch{-ax-R}{e^{\bruch{1}{2}x^{2}}}[/mm]
>
> Aber das lässt sich nun leider nicht integrieren :(
Das behauptest du so einfach, wieso denn?
[mm] \bruch{-ax-R}{e^{\bruch{1}{2}x^{2}}} = -ax e^{-\bruch{1}{2}x^{2}} -R e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}[/mm].
Der erste Summand ist einfach, die Stammfunktion des zweiten Summanden findest du in einer Integraltafel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Ikit |
Der erste ist tatsächlich einfach aber der zweite lässt sich doch nicht integrieren. Zumindest mein ich mich daran erinnern zu können, dass sich Funktionen der Form [mm] e^{x^{2}} [/mm] nicht einfach so integrieren lassen und diverse Online Integrationstools sagen eigentlich das gleiche.
Wenn das tatsächlich geht, kannst du mir bitte ein bischen konkreter auf die Sprünge helfen? In einer Integraltafel hab ich nichts gefunden :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Der erste ist tatsächlich einfach aber der zweite lässt
> sich doch nicht integrieren.
Da die Funktion $x [mm] \to e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}$ [/mm] auf [mm] \IR [/mm] stetig ist, besitzt sie auf [mm] \IR [/mm] eine Stammfunktion.
Elementar angeben (hinschreiben) kannst Du diese Stammfunktion allerdings nicht.
FRED
> Zumindest mein ich mich daran
> erinnern zu können, dass sich Funktionen der Form
> [mm]e^{x^{2}}[/mm] nicht einfach so integrieren lassen und diverse
> Online Integrationstools sagen eigentlich das gleiche.
>
> Wenn das tatsächlich geht, kannst du mir bitte ein bischen
> konkreter auf die Sprünge helfen? In einer Integraltafel
> hab ich nichts gefunden :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Ikit |
D.h. an der Stelle ist jetzt tatsächlich Schluss? Wie kann ich dann das y(0) = 1 noch miteinbauen? Ich brauch ja irgendwo eine Konstante die ich damit bestimmen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mi 13.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> D.h. an der Stelle ist jetzt tatsächlich Schluss? Wie kann
> ich dann das y(0) = 1 noch miteinbauen? Ich brauch ja
> irgendwo eine Konstante die ich damit bestimmen kann.
Das zweite Integral ist bis auf eine einfache Substitution die ![[]](/images/popup.gif) Gaußsche Fehlerfunktion. Die Anfangsbedingung einsetzen kannst du ja auch, wenn du das Integral nicht elementar darstellen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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