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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Variation der Konstanten
Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Variation der Konstanten: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Di 15.07.2008
Autor: Verdeg

Aufgabe
Löse folgende DGL:
y´+4y=10 sin (3x)

Ich lerne gerade Mathe und habe nur eine Verständnisfrage:
Ich beginne mit der Homogenen Lösung. Hier ist es [mm] yh=ce^{-4x} [/mm]
Dann mache ich mit folgenden Ansatz weiter: ys=3b1sin3x+b2cos3x, davon bilde ich die Ableitung und löse nach b1 und b2 auf. (so haben wir es auch immer in der Vorleusng gemacht)
Und jetzt meine Frage:
Warum setze ich einmal b1sinx und einmal b2cosx? Ich hätte jetzt einfach bei b1sinx aufgehört und nach b1 aufgelöst.


Andere Frage: Wenn statt y´+4y=10 sin (3x) , y´+4y=10 sin x² gestanden hätte, müsste ich bei der speziellen Lösung ebenfalls ys= b1sinx und b2cosx wählen? (wie in der vorherigen Aufgabe) Oder muss ich jetzt noch etwas machen, da ich ja sinx² habe?

Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich
        
Bezug
Variation der Konstanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 15.07.2008
Autor: smarty

Hallo Verdeg,

man nimmt bei einer Störfunktion [mm] g(x)=sin(\beta*x) [/mm] den Ansatz [mm] y_s(x)=C_1*sin(\beta*x)+C_2*cos(\beta*x) [/mm] oder [mm] y_s(x)=C*sin(\beta*x+\varphi) [/mm]

Der Ansatz ist analog gültig für [mm] k(x)=cos(\beta*x) [/mm]


> Löse folgende DGL:
>  y´+4y=10 sin (3x)
>  Ich lerne gerade Mathe und habe nur eine
> Verständnisfrage:
>  Ich beginne mit der Homogenen Lösung. Hier ist es
> [mm]y_h=ce^{-4x}[/mm]

[ok]

>  Dann mache ich mit folgenden Ansatz weiter:
> [mm] y_s=\red{3}b_1sin3x+b_2cos3x, [/mm] davon bilde ich die Ableitung und löse

die erste 3 stimmt aber nicht (Tippfehler?)

> nach b1 und b2 auf. (so haben wir es auch immer in der
> Vorleusng gemacht)
>  Und jetzt meine Frage:
>  Warum setze ich einmal b1sinx und einmal b2cosx? Ich hätte
> jetzt einfach bei b1sinx aufgehört und nach b1 aufgelöst.

... dann mach das doch einmal so! Was für ein Gleichungssystem erhältst du?


>
> Andere Frage: Wenn statt y´+4y=10 sin (3x) , y´+4y=10 sin
> x² gestanden hätte, müsste ich bei der speziellen Lösung
> ebenfalls ys= b1sinx und b2cosx wählen? (wie in der
> vorherigen Aufgabe) Oder muss ich jetzt noch etwas machen,
> da ich ja sinx² habe?

du müsstest da was anderes machen, ich kann dir aber nicht sagen WAS [keineahnung]
  

Grüße
Smarty
Bezug
                
Bezug
Variation der Konstanten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Di 15.07.2008
Autor: Verdeg

Hey
Danke, ja das war ein Tippfehler.
Mir ging es nur um den Ansatz.

Dann hoffe ich mal das ich den Ansatz für sinx² noch finde. Nicht das ich dann be der Aufgabe überrascht werde :)
Bezug
        
Bezug
Variation der Konstanten: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Di 15.07.2008
Autor: uliweil

Hallo Verdeg,

der von Dir gewählte Ansatz für die spezielle Lösung aus der Vorlesung (b1*sin(3x) + b2*cos(3x)) ergibt sich aus dem Verfahren der "Variation der Konstanten" aus Deiner Überschrift. Wenn man dieses Verfahren mal allgemein durchrechnet, also mit einer rechten Seite a * sin(b*x), dann sieht man, wo dieser Ansatz herkommt und dass man nicht einfach sin oder cos weglassen kann. Beim nächsten Mal weiss man dann, dass man gleich mit diesem Ansatz zur Bestimmung der speziellen Lösung rangehen kann und muss die Variation der Konstanten nicht jedesmal neu komplett durchrechnen.
Die zweite rechte Seite (also 10 * [mm] sin(x^2)) [/mm] läßt diesen einfachen Ansatz aber nicht zu, was man erstens nachrechnen kann und zweitens daran sieht, dass die "VdK" ein Integral

c(x) = [mm] \integral_{x_0}^{x}{10 exp(4t) sin(t^2) dt} [/mm]

für die "variierte Konstante" liefert, dass nicht so einfach zu lösen ist und Dir hoffentlich in keiner Klausur begegnen wird.
Grundsätzlich gilt also: Wenn Du auf eine rechte Seite triffst, für die Du keinen Ansatz kennst, dann "VdK" komplett durchrechnen.

Gruß
Uli
Bezug
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