Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:09 Fr 12.05.2006 | | Autor: | babel |
| Aufgabe | Seien [mm] X_{1}, X_{2},..., X_{n} [/mm] stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit endlicher Varianz [mm] (sigma)^2. [/mm] Zeigen sie, dass
[mm] \IE \summe_{i=1}^{n}(X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] = (n - [mm] 1)(sigma)^2
[/mm]
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Hallo,
kann mir jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe geben? Ich habe mir folgendes überlegt: ich quadiere die Summe. Weiss aber nicht, ob mir das auf eine Weise weiterbringt. Ich sehe vor allem keinen Zusammenhang zwischen den beiden Teilen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Nachzuweisen ist sicher nicht [mm] $\summe_{i=1}^{n}(X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] = [mm] (n-1)\sigma^2$, [/mm] sondern [mm] $E\left( \summe_{i=1}^{n}(X_{i} - \overline{X})^2 \right) [/mm] = [mm] (n-1)\sigma^2$.
[/mm]
Dazu gehst du am besten zu den zentrierten Zufallsgrößen [mm] $Z_i=X_i-\mu$ [/mm] über, wobei [mm] $\mu=E(X_i)$ [/mm] sein soll. Dann ist [mm] $\summe_{i=1}^{n}(X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(Z_{i} [/mm] - [mm] \overline{Z})^2$, [/mm] letzteres kannst du ausmultiplizieren und unter Nutzung von
[mm] $$E(Z_iZ_j) [/mm] = [mm] \begin{cases} E(Z_i^2) = \operatorname{var}(Z_i) = \operatorname{var}(X_i) = \sigma^2 &\;\mbox{für}\;i=j\\ E(Z_i)\cdot E(Z_j) = 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases}$$
[/mm]
ausrechnen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:14 Mo 15.05.2006 | | Autor: | babel |
Danke für die Hilfe, nun ist mir einiges klarer. Doch ich habe noch eine Frage: Woher kommt das (n-1)?
Gruss babel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 15.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Ausrechnen mit den Hinweisen, dann siehst du es!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 17.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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