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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:50 Mi 10.11.2010 | | Autor: | snarzhar |
| Aufgabe | Bei geeigneter Wahl von Modellparametern nimmt die Black-Scholes-Gleichung zur fairen Bewertung europäischer Call-Optionen auf Aktien folgende Form an:
[mm] \begin{cases} \partial_{t}V + \bruch{1}{2}S^{2}V_{SS} + SV_{S} + (- V) = 0, \mbox{ in } R_{+}^{0} × [0, T) \\ V (S, T) = ( S + (-K) )_{+}, S \in R_{+}^{0} \\ V (0, t) = 0. \\ \limes_{S\rightarrow\infty}\bruch{V(S,t)}{S} = 1 \end{cases}
[/mm]
Dabei werden Aktienpreis und Zeit durch S bzw. t bezeichnet, V (S, t) gibt
den Preis des Optionsscheins zur Zeit t an, wenn die Aktie den Wert S hat,
und K steht für den Preis, zu dem die Aktie zur Endzeit T bei Ausübung
des Optionsrechts erworben werden darf.
Zeigen Sie, dass unter der Variablentransformation x := ln(S/K), [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}(T [/mm] − t), v(x, [mm] \varepsilon) [/mm] := V (S,t)
K die Black-Scholes-Gleichung in das Anfangswertproblem
(
[mm] v _{\varepsilon} [/mm] − [mm] v_{xx} [/mm] − [mm] v_{x} [/mm] + 2v = 0 x [mm] \in [/mm] R, [mm] \varepsilon \in [/mm] [0, [mm] \bruch{T}{2} [/mm] )
v(x, 0) = [mm] (e^{x} [/mm] − [mm] 1)_{+} [/mm] x [mm] \in [/mm] R
transformiert wird. |
wenn ich wiederum alles einsetze und ableite, komme ich auf
V = K * v
[mm] V_{t} [/mm] = - [mm] \bruch{K}{2}v_{\varepsilon}
[/mm]
[mm] V_{S} [/mm] = [mm] \bruch{K^{2}}{S}*v_{x}
[/mm]
[mm] V_{SS} [/mm] = [mm] \bruch{K^{3}}{S^{2}}*v_{xx}
[/mm]
wenn ich das einsetzte, stören mich aber die K's, mache ich was falsch, oder muss soll man hier noch die Bedingungen, die an V gestellt sind ausnutzen(bei S = 0, ist V(S,t) = 0, und limes geht gegen 1)? Ich komme auf die erwünsche Form, nur eben mit den potenzierten K's vor den Summanden davor.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo snarzhar,
> Bei geeigneter Wahl von Modellparametern nimmt die
> Black-Scholes-Gleichung zur fairen Bewertung europäischer
> Call-Optionen auf Aktien folgende Form an:
>
> [mm]\begin{cases} \partial_{t}V + \bruch{1}{2}S^{2}V_{SS} + SV_{S} + (- V) = 0, \mbox{ in } R_{+}^{0} × [0, T) \\ V (S, T) = ( S + (-K) )_{+}, S \in R_{+}^{0} \\ V (0, t) = 0. \\ \limes_{S\rightarrow\infty}\bruch{V(S,t)}{S} = 1 \end{cases}[/mm]
>
> Dabei werden Aktienpreis und Zeit durch S bzw. t
> bezeichnet, V (S, t) gibt
> den Preis des Optionsscheins zur Zeit t an, wenn die Aktie
> den Wert S hat,
> und K steht für den Preis, zu dem die Aktie zur Endzeit T
> bei Ausübung
> des Optionsrechts erworben werden darf.
> Zeigen Sie, dass unter der Variablentransformation x :=
> ln(S/K), [mm] \varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}(T[/mm] − t), v(x,
> [mm]\varepsilon)[/mm] := V (S,t)
> K die Black-Scholes-Gleichung in das Anfangswertproblem
> (
> [mm]v _{\varepsilon}[/mm] − [mm]v_{xx}[/mm] − [mm]v_{x}[/mm] + 2v = 0 x [mm]\in[/mm] R,
> [mm]\varepsilon \in[/mm] [0, [mm]\bruch{T}{2}[/mm] )
> v(x, 0) = [mm](e^{x}[/mm] − [mm]1)_{+}[/mm] x [mm]\in[/mm] R
>
> transformiert wird.
>
> wenn ich wiederum alles einsetze und ableite, komme ich
> auf
>
> V = K * v
>
> [mm]V_{t}[/mm] = - [mm]\bruch{K}{2}v_{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]V_{S}[/mm] = [mm]\bruch{K^{2}}{S}*v_{x}[/mm]
Die Ableitung von [mm]\ln\left(S/K\right)[/mm] lautet:
[mm]\left( \ \ln\left(S/K\right) \ \right)'= \bruch{\left(S/K\right)'}{S/K}=\bruch{1/K}{S/K}=\bruch{1}{S}[/mm]
Damit wird
[mm]V_{S} = \bruch{K}{S}*v_{x}[/mm]
> [mm]V_{SS}[/mm] = [mm]\bruch{K^{3}}{S^{2}}*v_{xx}[/mm]
Das stimmt nicht.
Formal ist [mm]V_{s}[/mm]:
[mm]V_{S}=K*\bruch{\partial v}{\partial x}\bruch{dx}{ds}[/mm]
Wird das nach S differenziert, so steht da:
[mm]V_{SS}=K*\left(v_{xx}\left(\bruch{dx}{dS}\right)^{2}+v_{x}*\bruch{d^{2}x}{dS^{2}}\right)[/mm]
Daher stimmt das von Dir erhaltene [mm]V_{SS}[/mm] nicht.
>
> wenn ich das einsetzte, stören mich aber die K's, mache
> ich was falsch, oder muss soll man hier noch die
> Bedingungen, die an V gestellt sind ausnutzen(bei S = 0,
> ist V(S,t) = 0, und limes geht gegen 1)? Ich komme auf die
> erwünsche Form, nur eben mit den potenzierten K's vor den
> Summanden davor.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen -----
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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