Variable bei pq-Formel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 So 28.11.2010 | | Autor: | aurikeL |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie den Graphen der Funktion [mm] f_a(t) [/mm] = [mm] 0,5*t^3 [/mm] - [mm] 1,5*(a+1)*t^2+6*a*6+120 [/mm] in Abhänigkeit vom Paramter a auf Extrempunkte. |
Hallo Matheboard,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
An sich stellt die Aufgabe für mich kein Problem dar, allerdings versteh ich einen Punkt nicht.
Zuerst muss man ja die erste Ableitung bilden, diese gleich 0 setzen und dann durch 1,5 teilen, damit man die pq-Formel anwenden kann.
An dieser Stelle ist dann p = 2*(a+1) und q = 4a
Bei der pq-Formel steht dann später unter der Wurzel:
[mm] (a+1)^2 [/mm] - 4a an dieser Stelle kann man noch die binomische Formel anwenden, sodass unter der Wurzel [mm] a^2 [/mm] - 2a + 1 steht, was wiederum ja wieder die 2te binomische Formel, also [mm] (a-1)^2 [/mm] , ist.
An dieser Stelle haben wir im Unterricht festgelegt, dass a größer gleich 1 sein muss - diese Festlegung versteh ich allerdings nicht, wieso sollte ich z.B. 0,5 nicht einsetzen dürfen: [mm] (0,5-1)^2 [/mm] = 0,25?
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 28.11.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
Es gilt:
[mm] x=\frac{-b\pm \wurzel{b^2-4ac}}{2a}
[/mm]
Unter der Wurzel mus das Vorzeichen positiv sein:
[mm] b^2-4ac\ge0
[/mm]
In Deinem Fall also:
[mm] (a+1)^2-4a\ge0
[/mm]
[mm] a^2+2a+1-4a\ge0
[/mm]
[mm] a^2-2a+1\ge0
[/mm]
...
Daraus kannst Du dann errechnen, was ihr festgestellt habt.
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 28.11.2010 | | Autor: | aurikeL |
Ich bin mir bewusst, dass der Inhalt einer Wurzel immer positiv sein muss - ich kann auch deine aufgestellte (Un)gleichung ($ [mm] a^2-2a+1\ge0 [/mm] $) nachvollziehen (müsste man, wenn man bei der fortfahren würde - jetzt nochmal die pq-Formel anwenden? (da würde ja a = 1 rauskommen)). Aber ich kann doch trotzdem etwas einsetzen, was kleiner als 1 ist:
z.B. a = 0,5 -> dann würde doch unter der Wurzel 0,25 stehen, was ja völlig legitim wäre.
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Huhu,
eine Frage vorweg. Die von dir benannte Funktion heisst ja:
$ [mm] f_a(t) [/mm] $ = $ [mm] 0,5\cdot{}t^3 [/mm] $ - $ [mm] 1,5\cdot{}(a+1)\cdot{}t^2+6\cdot{}a\cdot{}6+120 [/mm] $
Ich vermute aber mal ganz stark, das sollte
$ [mm] f_a(t) [/mm] $ = $ [mm] 0,5\cdot{}t^3 [/mm] $ - $ [mm] 1,5\cdot{}(a+1)\cdot{}t^2+6\cdot{}a\cdot{}t+120 [/mm] $
werden. Insofern geh ich mal davon aus.
> Ich bin mir bewusst, dass der Inhalt einer Wurzel immer
> positiv sein muss - ich kann auch deine aufgestellte
> (Un)gleichung ([mm] a^2-2a+1\ge0 [/mm]) nachvollziehen (müsste man,
> wenn man bei der fortfahren würde - jetzt nochmal die
> pq-Formel anwenden? (da würde ja a = 1 rauskommen)). Aber
> ich kann doch trotzdem etwas einsetzen, was kleiner als 1
> ist:
> z.B. a = 0,5 -> dann würde doch unter der Wurzel 0,25
> stehen, was ja völlig legitim wäre.
Das siehst du alles völlig korrekt.
Ob man nun mit p-q-Formel die (doppelte) NST 1 herausbekommt, oder sofort binomische Formel erkennt, ist völig egal.
D.h. es gilt (wie du korrekt festgestellt hast):
[mm] a^2-2a+1\ge0 [/mm]
[mm] $\gdw (a-1)^2 \ge [/mm] 0$
Und da das Quadrat immer positiv ist, stimmt diese Aussage für alle [mm] $a\in\IR$
[/mm]
MFG,
Gono.
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