VWL optimales Güterbündel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | 1.Aufgabe:
Bugetgleichung 1: [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 4,5x_2 [/mm] = 36
Nutzenfunktion 1: [mm] u(x_1,x_2)=2x_1^\bruch{1}{2} x_2^\bruch{1}{2}
[/mm]
2.Aufgabe:
Bugetgleichung 2: [mm] 10x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] = 50
Nutzenfunktion 2a: [mm] u(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2
[/mm]
Nutzenfunktion 2b: [mm] u(x_1,x_2) [/mm] = [mm] min(x_1,2x_2) [/mm] |
Hallo!
Wir haben für die obigen Aufgaben formal das optimale Güterbündel bestimmt.
Zu Aufgabe 1: [mm] (x_1^*, x_2^*) [/mm] = (9,4)
Zu Aufgabe 2a: [mm] (x_1^*, x_2^*) [/mm] = (0,10)
Zu Aufgabe 2b: [mm] (x_1^*, x_2^*) [/mm] = (4,2)
Nun meine Fragen:
Bei der 1.Aufgabe haben wir mit Lagrange gerechnet. Bei der 2.Aufgabe aber nicht.
1.Frage: Warum haben wir bei 2a) nicht auch Lagrange genommen?
Liegt es wirklich nur an den Potenzen bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2?
[/mm]
Bei 2b) ist es mir ja noch klar. Wir wissen ja, dass wegen [mm] min(x_1,2x_2) [/mm] => [mm] x_1 [/mm] = [mm] 2x_2
[/mm]
=> 50 = [mm] 10(2x_2) [/mm] + [mm] 5x_2
[/mm]
=> [mm] x_2 [/mm] = 2
=> [mm] x_1= [/mm] 2*2 = 4
2.Frage: Woran sehe ich, ob ich Lagrange anwenden muss oder nicht?
3.Frage: Wie sähe die Berechnung bei 2b) aus, wenn statt min dort max stehen würde?
Vielen Dank!
Janett
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> 1.Aufgabe:
> Bugetgleichung 1: [mm]2x_1[/mm] + [mm]4,5x_2[/mm] = 36
> Nutzenfunktion 1: [mm]u(x_1,x_2)=2x_1^\bruch{1}{2} x_2^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 2.Aufgabe:
> Bugetgleichung 2: [mm]10x_1[/mm] + [mm]5x_2[/mm] = 50
> Nutzenfunktion 2a: [mm]u(x_1,x_2)[/mm] = [mm]2x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm]
> Nutzenfunktion 2b: [mm]u(x_1,x_2)[/mm] = [mm]min(x_1,2x_2)[/mm]
> Hallo!
> Wir haben für die obigen Aufgaben formal das optimale
> Güterbündel bestimmt.
>
> Zu Aufgabe 1: [mm](x_1^*, x_2^*)[/mm] = (9,4)
> Zu Aufgabe 2a: [mm](x_1^*, x_2^*)[/mm] = (0,10)
> Zu Aufgabe 2b: [mm](x_1^*, x_2^*)[/mm] = (4,2)
>
> Nun meine Fragen:
> Bei der 1.Aufgabe haben wir mit Lagrange gerechnet. Bei
> der 2.Aufgabe aber nicht.
>
> 1.Frage: Warum haben wir bei 2a) nicht auch Lagrange
> genommen?
Hallo,
ich denke, daß es daran liegt, daß der Dozent die Sache zu Hause durchgerechnet hat und festgestellt, daß Lagrange keinerlei Vorteil bringt.
Hast Du's mal mit Lagrange durchgerechnet?
Sowohl Nebenbedingung als auch Zielfunktion sind hier linear, so daß man mit Elimination einer Variablen aus der NB gut klar kommt.
Wenn die Nebenbedingung so ist, daß Du sie eindeutig nach einer Variablen auflösen kanst, ist es völlig egal, auf welche Art Du Deinen Extremwert ermittelst.
Versuch doch auch mal, bei Aufgabe 1) ohne Lagrange auszukommen. das sollte durchaus funktionieren.
>
> Liegt es wirklich nur an den Potenzen bei [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2?[/mm]
>
> Bei 2b) ist es mir ja noch klar. Wir wissen ja, dass wegen
> [mm]min(x_1,2x_2)[/mm] => [mm]x_1[/mm] = [mm]2x_2[/mm]
> => 50 = [mm]10(2x_2)[/mm] + [mm]5x_2[/mm]
> => [mm]x_2[/mm] = 2
> => [mm]x_1=[/mm] 2*2 = 4
>
> 2.Frage: Woran sehe ich, ob ich Lagrange anwenden muss oder
> nicht?
>
> 3.Frage: Wie sähe die Berechnung bei 2b) aus, wenn statt
> min dort max stehen würde?
Du meinst:
Budgetgleichung [mm]10x_1[/mm] + [mm]5x_2[/mm] = 50
Nutzenfunktion: [mm]u(x_1,x_2)[/mm] = [mm]max(x_1,2x_2)[/mm]
Budgetgleichung nach [mm] x_2 [/mm] auflösen und in Nutzenfunktion einsetzen ergibt:
[mm] u(x_1)=max\{x_1, 20-4x_1}
[/mm]
Natürlich müssen [mm] x_1, x_2 \ge [/mm] 0 sein, das liefert für [mm] x_1 [/mm] die Intervallgrenzen 0 und 5, also [mm] x_1\in[0,5].
[/mm]
Nun muß man rausfinden, für welche [mm] x_1 [/mm] gilt [mm] u(x_1)=x_1:
[/mm]
[mm] u(x_1)=x_1 [/mm]
<==> [mm] x_1\ge 20-4x_1 [/mm]
<==> [mm] x_1\ge [/mm] 4.
Also ist
[mm] u(x_1)=\begin{cases} x_1, & \mbox{für } 4\le x_1\le 5 \mbox{} \\ 20-4x_1, & \mbox{für } 0\lex<4 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Im Punkt [mm] x_1=4 [/mm] stoßen beide Funktionsteile zusammen (Stetigkeit).
Zwischen 0 und 4 fällt die Funktion, oberhalb von 4 steigt sie.
Den maximalen Nutzen wird man also an den Grenzen des Intervalls haben, aus dem [mm] x_1 [/mm] stammen darf.
Jetzt rechnet man u(0) und u(5)aus:
u(0)=20
u(5)=5,
also hat man den maximalen Nutzen bei [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=10.
[/mm]
Gruß v. Angela
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