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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:38 Di 25.02.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich habe mal eine generelle Frage, auch wenn sie vielleicht doof sein sollte (sorry) und ich hoffe ich kann meine Frage einigermaßen verständlich ausdrücken/beschreiben.
Gehe gerade die Analysis1 Vorlesung durch und wir haben da für metrische Räume immer nur die Fälle gehabt, auf [mm] \mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{C} [/mm] eine geeignete Metrik zu betrachten und dann lernten wir die üblichen Sachen (Folgen und Reihen, Konvergenz etc) kennen. Ich kenne auch zb solche metrischen Räume http://www.mathepedia.de/Funktionenraeume.aspx .
Aber was wir total ausgeklammert haben, sind endliche Körper bzw Vektorräume über endliche Körper K, da weiss ich jetzt auch garnicht, wie man die Theorie aus der Analysis 1 übertragen könnte. Kann mir dazu jemand was sagen oder Literatur empfehlen? Zb was wäre denn ein Beispiel einer Metrik http://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum für [mm] X=\mathbb{F}_2 [/mm] ?
Oder würde das alles keinen Sinn machen?
Entschuldigung, ich versuche das ganze, zu verstehen.
Gruß
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Hallo,
Ich würde sagen, endliche Körper spielen in der Analysis so gut wie keine Rolle. Natürlich kann man Metriken auf endlichen Mengen definieren, oder Topologien, aber die sind selten interessant. Zum Beispiel hat man ja stets die diskrete und indiskrete Topologie.
"Exotische algebraische Strukturen" kommen in der Analysis hauptsächlich in der $ p $-adischen Analysis betrachtet. Man definiert die $ p $-adischen ganzen Zahlen [mm] $\IZ_p [/mm] $ als projektiven Limes [mm] $\lim_n \IZ/(p^n) [/mm] $ für Primzahlen $ p $. Man erhält einen Integritätsbereich, kann also nach allen Elementen [mm] $\not=0$ [/mm] lokalisieren. Der sich ergebende Körper [mm] $\IQ_p [/mm] $ lässt sich nicht-archimedisch anordnen und wird in der Analysis gerne untersucht.
Ansonsten sind topologische Ringe interessant, das sind Ringe, deren Verknüpfungen stetig sind, allerdings gehört das in die Algebra oder Topologie und eigentlich nicht in die Analysis.
Ich hoffe, das hilft dir schonmal weiter, ich lasse die Frage halb-offen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo,
ein paar Anmerkungen meinerseits:
Eine Möglichkeit auf endlichen Körpern eine Metrik zu definieren ist die Hamming-Distanz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hamming-Abstand
oder auch die diskrete Metrik
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Metrik
Wie mein Vorredner bereits sagte ergeben sich damit aber keine interessanten topologischen Eigenschaften.
Auch den Rest der Antwort würde ich unterschreiben, bis auf eines:
Hier würde ich die p-adischen Zahlen analytisch und nicht algebraisch einführen.
[mm] $\mathbb Q_p$ [/mm] ist "die" Vervollständigung von [mm] $\mathbb [/mm] Q$ bzgl. des p-adischen Absolutbetrags [mm] $|\frac{a}{b}p^n|_p =p^{-n}$ [/mm] wobei n eine ganze Zahl und p kein Teiler von a und b.
Der Absolutbetrag induziert auch eine Metrik auf [mm] $\mathbb [/mm] Q$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 01.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 So 02.03.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich komme leider so selten ins Internet, deswegen reagiere ich jetzt erst. Vielen Dank euch beiden für die hilfreiche Antwort!
Grüße
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