VDK - DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 04.08.2009 | | Autor: | seaman |
| Aufgabe | xy' + y = [mm] 2*x*cos(x^{2}) [/mm] für [mm] y(\wurzel{\pi}) [/mm] = [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
ges.:
a) homogene Lösung ( [mm] y_{h} [/mm] )
b) allgemeine Lösung ( [mm] y_{a} [/mm] = [mm] y_{sp} [/mm] + [mm] y_{h} [/mm] )
c) partikuläre Lösung ( [mm] y_{p} [/mm] )
angegebene Lösungen:
[mm] y_{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*( sin(x^{2}) [/mm] + C )
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*( sin(x^{2}) [/mm] + [mm] \pi [/mm] ) |
Hallo,
Habe die obige Aufgabe bereits mit Hilfe der Integralsubstitution hinbekommen. Die Ergebnisse stimmen mit den angegebenen Lösungen überein.
Nun wollte ich es mal mithilfe der Störglieder probieren, aber wie? Gerade bei komplizierteren Aufgaben ist man doch schneller am Ziel (zumindest konnte ich das hier im Forum bei diversen Diskussionen herauslesen), oder täusche ich mich da?
Habe mich bereits hier durchs Forum gewühlt und mir einge Aufgaben angesehen. Aber komme trotzdem noch nicht so richtig klar, wie ich nun genau mit den Störgliedern umgehen muss. Aber gut, ich fange mal von vorne an:
y' + [mm] \bruch{1}{x}*y [/mm] = [mm] 2*cos(x^{2})
[/mm]
a)
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] C*e^{-\integral_{\bruch{1}{x} dx}}
[/mm]
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] C*\bruch{1}{x}
[/mm]
b)
Und jetzt komme ich bereits ins stocken!
Meine Störfunktion lautet ja: g(x) = [mm] 2*cos(x^{2})
[/mm]
Woher weiss ich jetzt, welchen Lösungsansatz ich jetzt nehmen muss? In meiner Formelsammlung stehen insgesamt 8.
Eine Störfunktion lautet in dieser Tabelle: g(x) = A*sin(wx)
Dafür gibt es 2 Lösungsansätze:
I.) [mm] y_{sp} [/mm] = [mm] C_{1}*sin(wx) [/mm] + [mm] C_{2}*cos(wx) [/mm]
II.) [mm] y_{sp} [/mm] = C*sin(wx + [mm] \alpha)
[/mm]
Soweit ich es bisher hier im Forum mitbekommen habe, ist der I. Lösungsansatz wohl am besten, aber wie muss ich da jetzt weiter vorgehen? Was mache ich jetzt mit diesem Lösungsansatz? Wie komme ich auf die spezielle bzw. auf die allgemeine Lösung? Muss ich jetzt auch wieder C durch die Funktion C(x) ersetzen?
Fragen über Fragen. :)
Hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo seaman,
> xy' + y = [mm]2*x*cos(x^{2})[/mm] für [mm]y(\wurzel{\pi})[/mm] =
> [mm]\wurzel{\pi}[/mm]
>
> ges.:
> a) homogene Lösung ( [mm]y_{h}[/mm] )
> b) allgemeine Lösung ( [mm]y_{a}[/mm] = [mm]y_{sp}[/mm] + [mm]y_{h}[/mm] )
> c) partikuläre Lösung ( [mm]y_{p}[/mm] )
>
> angegebene Lösungen:
>
> [mm]y_{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}*( sin(x^{2})[/mm] + C )
>
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}*( sin(x^{2})[/mm] + [mm]\pi[/mm] )
> Hallo,
>
> Habe die obige Aufgabe bereits mit Hilfe der
> Integralsubstitution hinbekommen. Die Ergebnisse stimmen
> mit den angegebenen Lösungen überein.
>
> Nun wollte ich es mal mithilfe der Störglieder probieren,
> aber wie? Gerade bei komplizierteren Aufgaben ist man doch
> schneller am Ziel (zumindest konnte ich das hier im Forum
> bei diversen Diskussionen herauslesen), oder täusche ich
> mich da?
>
> Habe mich bereits hier durchs Forum gewühlt und mir einge
> Aufgaben angesehen. Aber komme trotzdem noch nicht so
> richtig klar, wie ich nun genau mit den Störgliedern
> umgehen muss. Aber gut, ich fange mal von vorne an:
>
>
> y' + [mm]\bruch{1}{x}*y[/mm] = [mm]2*cos(x^{2})[/mm]
>
> a)
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]C*e^{-\integral_{\bruch{1}{x} dx}}[/mm]
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]C*\bruch{1}{x}[/mm]
>
>
> b)
>
> Und jetzt komme ich bereits ins stocken!
>
> Meine Störfunktion lautet ja: g(x) = [mm]2*cos(x^{2})[/mm]
>
> Woher weiss ich jetzt, welchen Lösungsansatz ich jetzt
> nehmen muss? In meiner Formelsammlung stehen insgesamt 8.
>
> Eine Störfunktion lautet in dieser Tabelle: g(x) =
> A*sin(wx)
>
> Dafür gibt es 2 Lösungsansätze:
>
> I.) [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]C_{1}*sin(wx)[/mm] + [mm]C_{2}*cos(wx)[/mm]
> II.) [mm]y_{sp}[/mm] = C*sin(wx + [mm]\alpha)[/mm]
>
> Soweit ich es bisher hier im Forum mitbekommen habe, ist
> der I. Lösungsansatz wohl am besten, aber wie muss ich da
> jetzt weiter vorgehen? Was mache ich jetzt mit diesem
> Lösungsansatz? Wie komme ich auf die spezielle bzw. auf
> die allgemeine Lösung? Muss ich jetzt auch wieder C durch
> die Funktion C(x) ersetzen?
Machst Du die Konstanten wieder von x abhängig,
so führt das dann auf ein System von DGLn für die Konstanten.
Besser ist, Du überlegst Dir, welchen Ansatz man
aufgrund der Form der DGL für die Bestimmung der
partikulären Lösung machen kann.
Hier ist das der Ansatz:
[mm]y_{sp}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}\left( \ C_{1}*\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}*\cos\left(x^{2}\right) \ \right)[/mm]
>
> Fragen über Fragen. :)
>
> Hoffe mir kann jemand helfen.
>
> Vielen Dank.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mi 05.08.2009 | | Autor: | seaman |
> Machst Du die Konstanten wieder von x abhängig,
> so führt das dann auf ein System von DGLn für die
> Konstanten.
>
> Besser ist, Du überlegst Dir, welchen Ansatz man
> aufgrund der Form der DGL für die Bestimmung der
> partikulären Lösung machen kann.
>
> Hier ist das der Ansatz:
>
> [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}\left( \ C_{1}*\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}*\cos\left(x^{2}\right) \ \right)[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Hallo MathePower,
jetzt aber mal gaaanz langsam.
Woher nimmst du die [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ?
Aus der Typengleichung y' + $ [mm] \bruch{1}{x}\cdot{}y [/mm] $ = $ [mm] 2\cdot{}cos(x^{2}) [/mm] $
oder aus der homogenen Gleichung $ [mm] y_{h} [/mm] $ = $ [mm] C\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] $ ?
Wenn ich das richtig verstehe muss jetzt [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] ausgerechnet werden. Aber wie mache ich das? Habe doch nur die eine Gleichung.
|
|
|
| |
|
Hallo seaman,
> > Machst Du die Konstanten wieder von x abhängig,
> > so führt das dann auf ein System von DGLn für die
> > Konstanten.
> >
> > Besser ist, Du überlegst Dir, welchen Ansatz man
> > aufgrund der Form der DGL für die Bestimmung der
> > partikulären Lösung machen kann.
> >
> > Hier ist das der Ansatz:
> >
> > [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}\left( \ C_{1}*\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}*\cos\left(x^{2}\right) \ \right)[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Hallo MathePower,
>
> jetzt aber mal gaaanz langsam.
>
> Woher nimmst du die [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ?
>
> Aus der Typengleichung y' + [mm]\bruch{1}{x}\cdot{}y[/mm] =
> [mm]2\cdot{}cos(x^{2})[/mm]
>
> oder aus der homogenen Gleichung [mm]y_{h}[/mm] =
> [mm]C\cdot{}\bruch{1}{x}[/mm] ?
Der Ansatz wurde aufgrund der Typengleichung gewählt.
>
> Wenn ich das richtig verstehe muss jetzt [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm]
> ausgerechnet werden. Aber wie mache ich das? Habe doch nur
> die eine Gleichung.
Nun, hier stellst Du dann einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich an.
Hier vergleicht man dann die Koeffizienten vor [mm]\sin\left(x^{2}\right)[/mm] bzw. vor [mm]\cos\left(x^{2}\right)[/mm] auf beiden Seiten der entstehenden Gleichung miteinander, d.h. wenn
[mm]A*\sin\left(x^{2}\right)+B*cos\left(x^{2}\right)=C\sin\left(x^{2}\right)+D*cos\left(x^{2}\right)[/mm]
gleich sein sollen, dann muß zwangsläufig
[mm]A=C[/mm]
[mm]B=D[/mm]
gelten.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 05.08.2009 | | Autor: | seaman |
Hallo MathePower,
habe die $ [mm] y_{sp} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x}\left( \ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) \ \right) [/mm] $ nun abgleitet:
[mm] y_{sp}' [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x^{2}}*(\ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right) [/mm] + [mm] C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) [/mm] ) + [mm] 2*C_{1}*cos(x^{2}) [/mm] - [mm] 2*C_{2}*sin(x^{2})
[/mm]
Das habe ich dann in die Typengleichung eingesetzt und den Koeffizientenvergleich nach [mm] cos(x^{2}) [/mm] und [mm] sin(x^{2}) [/mm] gemacht.
[mm] sin(x^{2}) [/mm] :
[mm] -\bruch{1}{x^{2}}*C_{1} [/mm] - [mm] 2*C_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}*C_{1} [/mm] = 0
[mm] C_{1}*(\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^{2}}) [/mm] - [mm] 2*C_{2} [/mm] = 0
[mm] cos(x^{2}) [/mm] :
[mm] -\bruch{1}{x^{2}}*C_{2} [/mm] + [mm] 2*C_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}*C_{2} [/mm] = 2
[mm] 2*C_{1} [/mm] + [mm] C_{2}*(\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^{2}}) [/mm] = 2
Ist das so erstmal richtig? Habe jetzt schon mehrere Versuche unternommen [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] zu errechnen, aber komme immerwieder auf falsche Ergebnisse, die mit der angegebenen Lösung (aus meinem Eröffnungsbeitrag) nicht übereinstimmen.
|
|
|
| |
|
Hallo seaman,
> Hallo MathePower,
>
> habe die [mm]y_{sp}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}\left( \ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) \ \right)[/mm]
> nun abgleitet:
>
> [mm]y_{sp}'[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x^{2}}*(\ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right)[/mm]
> + [mm]C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right)[/mm] ) + [mm]2*C_{1}*cos(x^{2})[/mm]
> - [mm]2*C_{2}*sin(x^{2})[/mm]
>
Hier fehlt ein x:
[mm]y_{sp}' = -\bruch{1}{x^{2}}*(\ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right)
+ C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) ) + 2*C_{1}*\red{x}*cos(x^{2}) - 2*C_{2}*\red{x}*sin(x^{2})[/mm]
>
> Das habe ich dann in die Typengleichung eingesetzt und den
> Koeffizientenvergleich nach [mm]cos(x^{2})[/mm] und [mm]sin(x^{2})[/mm]
> gemacht.
>
> [mm]sin(x^{2})[/mm] :
>
> [mm]-\bruch{1}{x^{2}}*C_{1}[/mm] - [mm]2*C_{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x}*C_{1}[/mm] = 0
>
> [mm]C_{1}*(\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x^{2}})[/mm] - [mm]2*C_{2}[/mm] = 0
>
>
> [mm]cos(x^{2})[/mm] :
>
> [mm]-\bruch{1}{x^{2}}*C_{2}[/mm] + [mm]2*C_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x}*C_{2}[/mm] = 2
>
> [mm]2*C_{1}[/mm] + [mm]C_{2}*(\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x^{2}})[/mm] = 2
>
>
> Ist das so erstmal richtig? Habe jetzt schon mehrere
> Versuche unternommen [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] zu errechnen, aber
> komme immerwieder auf falsche Ergebnisse, die mit der
> angegebenen Lösung (aus meinem Eröffnungsbeitrag) nicht
> übereinstimmen.
>
>
Die Typengleichung lautet ja
[mm]y_{sp}'+\bruch{1}{x}*y_{sp}=2*\cos\left(x^{2}\right)[/mm]
Obiges eingesetzt liefert:
[mm]-\bruch{1}{x^{2}}*(\ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right)
+ C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) ) + 2*C_{1}*x*cos(x^{2})- 2*C_{2}*x*sin(x^{2})+[/mm]
[mm]+\red{\bruch{1}{x}}*\bruch{1}{x}\left( \ C_{1}\cdot{}\sin\left(x^{2}\right) + C_{2}\cdot{}\cos\left(x^{2}\right) \ \right)[/mm]
[mm]=2*C_{1}*x*cos(x^{2})- 2*C_{2}*x*sin(x^{2})[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 05.08.2009 | | Autor: | seaman |
Vielen Dank, MathePower!
Jetzt habe ich es hinbekommen.
|
|
|
|
