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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 09.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=x^{2}*e^{-0.5x^{2}}
[/mm]
Welche Ursprungsgeraden g sind Tangenten an den graphen von f?
Bestimmen Sie auch die Berührpunkte. |
hallo^^
Ich versuch grad,die Aufgabe zu lösen,komme aber nicht mehr weiter.
Mein Ansatz für die Geradengleichungen
g(x)=m*x
[mm] f'(x)=-x^{2}*2e^{-0.5x^{2}}=m [/mm] (Ich glaub meine Ableitung stimmt so nicht ???)
[mm] m*x=x^{2}*e^{-0.5x^{2}}
[/mm]
Irgendwie komm ich hier nicht mehr weiter,kann mir jemand helfen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 So 09.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ursprungsgeraden sind korrekt. g(x)=mx mit der unbekannten Steigung m
Du hast recht, dass an den Berührpunkten [mm] (x-{b}/f(x_{b})) [/mm] die Steigung identisch ist.
Dazu bestimme erstmal mit der Produktregel (und für die "Teilableitung" von [mm] e^{-0,5x²} [/mm] auch der Kettenregel) f'
Also:
[mm] f(x)=\overbrace{x²}^{u}*\overbrace{e^{-0,5x²}}^{v}
[/mm]
[mm] f'(x)=\underbrace{2x}_{u'}*\underbrace{e^{-0,5x²}}_{v}+\underbrace{x²}_{u}*\underbrace{(-x)*e^{0,5x²}}_{v'(Kettenregel)}
[/mm]
[mm] =(2x-x³)*e^{-0,5x²}
[/mm]
Jetzt habe ich zwei unbekannte Werte, [mm] x_{b} [/mm] (x-Koordinate des Berührpunktes) und m.
Es gilt ja:
[mm] m=f'(x_{b}) [/mm] (Steigungsgleichheit)
Und [mm] mx_{b}=f(x_{b}) [/mm] (Berührpunkt ist Schnittpunkt).
Also:
[mm] (2x_{b}-x_{b}³)*e^{-0,5x_{b}²}=m [/mm]
und [mm] mx_{b}=x_{b}^{2}*e^{-0,5x_{b}^{2}}
[/mm]
Und daraus kannst du jetzt [mm] x_{b} [/mm] und m bestimmen. Dazu setze mal die erste Gleichung in die zweite ein (für m)
Also:
[mm] (2x_{b}-x_{b}³)*e^{-0,5x_{b}²}*x_{b}=x_{b}^{2}*e^{-0,5x_{b}^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw (2x_{b}-x_{b}³)*x_{b}=x_{b}^{2} [/mm] (ich kann ohne Probleme durch [mm] e^{-0,5x_{b}^{2}} [/mm] Teilen, da das nicht Null wird)
Und aus [mm] (2x_{b}-x_{b}³)*x_{b}=x_{b}^{2} [/mm] kannst du nun die x-Koordinaten der (möglichen) Berührpunkte ermitteln, und damit dann auch die jeweiligen Steigungen der Geraden g(x)=mx und die y-Koordinaten der Berührpunkte [mm] B(x_{b}/f(x_{b}))
[/mm]
Kommst du jetzt erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 09.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Bevor ich das jetzt ausrechne,hab ich boch eine Frage,was ist denn bei [mm] e^{-0.5x^{2}} [/mm] die innere und was die äußere Ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Die äußere Funktion ist [mm] $e^{...}$ [/mm] , die innere Funktion [mm] $-0.5*x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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