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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mi 04.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
Ich glaube ich verrenne mich irgendwie. Desweiteren habe ich auch Probleme beim aufschreiben. Also bitte alles mit Vorsicht genießen.
Problem:
Es sind 2 Urnen vorhanden Urne A und Urne B. Beide Urnen beinhalten jeweils n Kugel.
Spieler SA führt n-mal folgendes durch:
Er zieht mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine Kugel.
Spieler SB macht das n-mal analog mit seiner eigenen Urne:
Er zieht wieder mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine Kugel.
Wie groß ist die Wkeit, dass Spieler SA weniger Kugel gezogen hat als Spieler SB?
Das Ziehen der Kugel kann ich ja schreiben als
[mm]F_i=\begin{cases} 1 ,& p\\
0,&(1-p)\end{cases}[/mm]
und damit hat Spieler SA nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm] Kugel genommen.
Spieler SB hat auch nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm] Kugel genommen.
Die gesuchte Wkeit ist ja soetwas wie
[mm]P(S_n(SA)
[mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^aP(S_n(SB)=k)[/mm]
[mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^a\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=:g(n,p)[/mm]
Allerdings ist [mm]g(1,\frac{1}{2})=2[/mm]. Das ist also in keinem Fall ne Wkeit. Da muss also ein ganz grober Schnitzer drin sein.
Die Frage stellt sich ja, ob [mm]\red{=}[/mm] wirklich gilt.
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> Hi,
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> Ich glaube ich verrenne mich irgendwie. Desweiteren habe
> ich auch Probleme beim aufschreiben. Also bitte alles mit
> Vorsicht genießen.
>
> Problem:
> Es sind 2 Urnen vorhanden Urne A und Urne B. Beide Urnen
> beinhalten jeweils n Kugel.
... man könnte auch sagen: sie enthalten je n Kugeln 
> Spieler SA führt n-mal folgendes durch:
> Er zieht mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der
> Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine
> Kugel.
>
> Spieler SB macht das n-mal analog mit seiner eigenen Urne:
> Er zieht wieder mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel
> aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er
> keine Kugel.
>
> Wie groß ist die Wkeit, dass Spieler SA weniger Kugeln
> gezogen hat als Spieler SB?
>
> Das Ziehen der Kugel kann ich ja schreiben als
> [mm]F_i=\begin{cases} 1 ,& p\\ 0,&(1-p)\end{cases}[/mm]
> und damit hat Spieler SA nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm]
> Kugel genommen.
> Spieler SB hat auch nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm]
> Kugel genommen.
>
> Die gesuchte Wkeit ist ja soetwas wie
> [mm]P(S_n(SA)
>
> [mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^aP(S_n(SB)=k)[/mm]
> [mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^a\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=:g(n,p)[/mm]
>
> Allerdings ist [mm]g(1,\frac{1}{2})=2[/mm]. Das ist also in keinem
> Fall ne Wkeit. Da muss also ein ganz grober Schnitzer drin
> sein.
>
> Die Frage stellt sich ja, ob [mm]\red{=}[/mm] wirklich gilt.
Guten Tag wieschoo !
Ich würde mir das so zurechtlegen:
Jeder der beiden Spieler macht ja mit seiner Urne
genau dasselbe Spiel, also haben wir eine total
symmetrische Situation, und es muss gelten
$\ [mm] P(a_n
Dabei seien [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] die Anzahlen der von SA bzw. SB
in n Schritten insgesamt gezogenen Kugeln. Um [mm] P(a_n
zu berechnen, würde ich mich also zunächst um die Wahr-
scheinlichkeit
$\ [mm] P(a_n=b_n)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{n}P(a_n=b_n=k)$
[/mm]
kümmern. Und nun ist
$\ [mm] P(a_n=b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] P(a_n=k\ \wedge\ b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] P(a_n=k)\ [/mm] *\ P( [mm] b_n=k)$
[/mm]
(Unabhängigkeit)
wobei $\ [mm] P(a_n=k)\ [/mm] =\ P( [mm] b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n\\k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}$
[/mm]
(Binomialverteilung)
Jetzt einfach noch einsetzen und vereinfachen.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 05.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Danke dir. Warum denke ich immer um [mm] $\pi^2$ [/mm] Ecken mehr als man muss?
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