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Hallo an Alle!!
Habe eine Matheklausur geschrieben und diese leider total versiebt... Na ja... Soll jetzt eine Aufgabe davon bearbeiten, aber habe leider keine Ahnung wie man die rechnet.. Wäre echt über jede Hilfe dankbar!!
Aufgabe:
In zwei Urnen sind Kugeln enthalten. Die erste Urne enthält 5 rote und 10 schwarze Kugeln. Die zweite enthält 6 rote und 8 schwarze. Es sollen 7 Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Welche Urne dafür benutzt wird, wird durch den Wurf eines fairen Würfels entschieden: Bei Augenzahl größer als 4 wird aus der ersten Urne gezogen, sonst aus der zweiten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens zwei rote Kugeln gezogen?
Hier mein Ansatz:
k [mm] \ge [/mm] 2
Wahrscheinlichkeit für das Würfeln:
Augensumme > 4: [mm] \bruch{2}{6} [/mm] = Urne 1
Augensumme [mm] \le [/mm] 4: [mm] \bruch{4}{6}= [/mm] Urne 2
Ich gehe davon aus, dass die Reihenfolge bei diesem Experimnt keine Rolle spielt..
Da das Experiment mit Zurücklegen ist würde ich die Formel:
|E| = [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] anwenden...
Jetzt weiß ich aber leider nicht, wie ich das jetzt alles anwenden soll?
Ist das überhaupt so richtig??
Wäre echt lieb, wenn mir jemand dabei helfen könnte!!
Danke schon mal...
Viele Grüße DarkAngel84 =)
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Hallo!!
> Du musst nun also P(A) und P(B) ausrechnen und von der
> gesamten Wahrscheinlichkeit 7 Kugeln zu ziehen (die ist ja
> bekanntlich 1 *g*) subtrahieren.
Das mit dem Subtarhieren hab ich ja soweit verstanden... Ist irgendwie logisch!! =)
> Ein Beispiel für P(A) für eine gewürfelte 6 [mm](\Rightarrow[/mm]
> Züge aus Urne 2):
>
> P(A) = [mm]\bruch{2}{6}[/mm] * [mm](\bruch{8}{14})^{7}[/mm]
>
> Die [mm](\bruch{8}{14})^{7}[/mm] ergeben sich ja aus der Tatsache,
> dass in Urne zwei 14 Kugeln befindlich sind, darunter 8
> schwarze und man nach jedem Zug ja neu die Chance hat aus
> allen Kugeln zu ziehen.
Warum du da jetzt allerdings mit den 8 schwarzen Kugeln rechnest verstehe ich nicht!! Und warum das ganze dann hoch 7 gerechnet wird verstehe ich auch net so ganz...
In meinem Buch steht so eine ähnliche Aufgabe unter dem Stichpunkt Binomialverteilung... Kann ich das dann auch mit
B(n,p,k) = [mm] \vektor{n\\ k} *p^{k} *(1-p)^{n-k}
[/mm]
rechnen?? Und das ich dann vielleicht für p einmal [mm] \bruch{2}{6} [/mm] und einmal [mm] \bruch{4}{6} [/mm] einsetze??
Und dass von p=1 also B(n,1,k)=... subtrahiere?
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Hi, DarkAngel,
> In meinem Buch steht so eine ähnliche Aufgabe unter dem
> Stichpunkt Binomialverteilung... Kann ich das dann auch
> mit
>
> B(n,p,k) = [mm]\vektor{n \\ k} *p^{k} *(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> rechnen??
Ja! Ich denke auch, dass es sich hier um eine Binomialverteilung handelt!
Interessant ist vor allem die Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit p:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{2}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] zieht man aus Urne 1. Hier ist nun wiederum die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu [mm] ziehen:\bruch{5}{15} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Daher ist die Wahrscheinlichkeit P(Urne1; rot) = [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}.
[/mm]
Analog kommt man auf die Wahrscheinlichkeit P(Urne2; rot) = [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{3}{7} [/mm] = [mm] \bruch{2}{7}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem "Zug" eine rote Kugel zu kriegen, ist daher: p = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{2}{7} [/mm] = [mm] \bruch{25}{63}.
[/mm]
Nun geht man am besten über das Gegenereignis vor:
Das Gegenereignis zu "mindestens zwei" ist "höchstens eine" rote Kugel.
Daher: P("mindestens zwei") = 1 - (P("keine")+P("eine"))
= 1 - (B(7;p;0) + B(7;p;1))
= 1 - [mm] ((\bruch{38}{63})^{7}+7*\bruch{25}{63}*(\bruch{38}{63})^{6}) [/mm]
= 1 - (0,029+0,134) = 0,837.
(Rechenfehler nicht ausgeschlossen!)
mfG!
Zwerglein
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Hallo DarkAngel84,
> Hallo!!
>
> > Du musst nun also P(A) und P(B) ausrechnen und von der
> > gesamten Wahrscheinlichkeit 7 Kugeln zu ziehen (die ist ja
> > bekanntlich 1 *g*) subtrahieren.
>
> Das mit dem Subtarhieren hab ich ja soweit verstanden...
> Ist irgendwie logisch!! =)
>
> > Ein Beispiel für P(A) für eine gewürfelte 6 [mm](\Rightarrow[/mm]
> > Züge aus Urne 2):
> >
> > P(A) = [mm]\bruch{2}{6}[/mm] * [mm](\bruch{8}{14})^{7}[/mm]
> >
> > Die [mm](\bruch{8}{14})^{7}[/mm] ergeben sich ja aus der Tatsache,
> > dass in Urne zwei 14 Kugeln befindlich sind, darunter 8
> > schwarze und man nach jedem Zug ja neu die Chance hat aus
> > allen Kugeln zu ziehen.
>
> Warum du da jetzt allerdings mit den 8 schwarzen Kugeln
> rechnest verstehe ich nicht!! Und warum das ganze dann hoch
> 7 gerechnet wird verstehe ich auch net so ganz...
>
> In meinem Buch steht so eine ähnliche Aufgabe unter dem
> Stichpunkt Binomialverteilung... Kann ich das dann auch
> mit
>
> B(n,p,k) = [mm]\vektor{n\\ k} *p^{k} *(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> rechnen?? Und das ich dann vielleicht für p einmal
> [mm]\bruch{2}{6}[/mm] und einmal [mm]\bruch{4}{6}[/mm] einsetze??
>
> Und dass von p=1 also B(n,1,k)=... subtrahiere?
>
>
ich kann Zwerglein's Antwort nur zustimmen.
Gruß
MathePower
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